Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩定點(diǎn)E（1，0）、$G（6，\frac{3}{2}）$，⊙C的方程為x²+y²-2mx+（10-2m）y+10m-29=0．當(dāng)⊙C的半徑取最小值時(shí)：
（1）求出此時(shí)m的值，并寫(xiě)出⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）在x軸上是否存在異于點(diǎn)E的另外一個(gè)點(diǎn)F，使得對(duì)于⊙C上任意一點(diǎn)P，總有$\frac{{|{PE}|}}{{|{PF}|}}$為定值？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；
（3）在第（2）問(wèn)的條件下，求$μ=\frac{{4{{|{PG}|}^2}-{{|{PE}|}^2}-6|{PE}|}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用配方和二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求圓的方程；
（2）設(shè)P（x，y），定點(diǎn)F（m，0）（m為常數(shù)），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，再由恒等式的性質(zhì)，即可得到定點(diǎn)F的坐標(biāo)和$\frac{{|{PE}|}}{{|{PF}|}}$的定值；
（3）由上問(wèn)可知對(duì)于⊙C上任意一點(diǎn)P總有$|{PF}|=\frac{1}{2}|{PE}|$，可得||PG|-|PF||≤|FG|（當(dāng)P、F、G三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），又$|{FG}|=\frac{5}{2}$，故2|PG|-|PE|∈[-5，5]．化簡(jiǎn)μ的關(guān)系式，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）⊙C的方程為x²+y²-2mx+（10-2m）y+10m-29=0
可得⊙C的標(biāo)準(zhǔn)式為：（x-m）²+[y-（m-5）]²=2（m-5）²+4，
當(dāng)m=5時(shí)，⊙C的半徑取最小值，此時(shí)⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-5）²+y²=4；
（2）設(shè)P（x，y），定點(diǎn)F（m，0）（m為常數(shù)），則${λ^2}=\frac{{{{|{PE}|}^2}}}{{{{|{PF}|}^2}}}=\frac{{{{（x-1）}^2}+{y^2}}}{{{{（x-m）}^2}+{y^2}}}$．
∵（x-5）²+y²=4，∴y²=4-（x-5）²，代入上式，
得：${λ^2}=\frac{{{{（x-1）}^2}+4-{{（x-5）}^2}}}{{{{（x-m）}^2}+4-{{（x-5）}^2}}}=\frac{8x-20}{{（10-2m）x-（21-{m^2}）}}$．
由于λ取值與x無(wú)關(guān)，∴$\frac{8}{10-2m}=\frac{20}{{21-{m^2}}}⇒m=4$（m=1舍去）．
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4，0），λ²=4即λ=2；
（3）由上問(wèn)可知對(duì)于⊙C上任意一點(diǎn)P總有$|{PF}|=\frac{1}{2}|{PE}|$，
故$2|{PG}|-|{PE}|=2（{|{PG}|-\frac{1}{2}|{PE}|}）=2（{|{PG}|-|{PF}|}）$，
而||PG|-|PF||≤|FG|（當(dāng)P、F、G三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），
又$|{FG}|=\frac{5}{2}$，故2|PG|-|PE|∈[-5，5]．
∴$μ=\frac{{4{{|{PG}|}^2}-{{|{PE}|}^2}-6|{PE}|}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|=\frac{{{{（2|{PG}|）}^2}-{{（|{PE}|+3）}^2}+9}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|$
=$\frac{{（2|{PG}|+|{PE}|+3）（2|{PG}|-|{PE}|-3）+9}}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}-2|{PE}|$
=$（2|{PG}|-|{PE}|-3）+\frac{9}{{2|{PG}|-|{PE}|-3}}+6$，
令t=2|PG|-|PE|-3（t∈[-8，0）∪（0，2]），則$μ=t+\frac{9}{t}+6$，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得：
當(dāng)0＜t≤2，可得函數(shù)遞減，可得μ≥$\frac{25}{2}$；
當(dāng)-8≤t＜0，可得t+$\frac{9}{t}$+6≤-2$\sqrt{（-t）•\frac{9}{-t}}$+6=0，
可得$μ∈（{-∞，0}]∪[{\frac{25}{2}，+∞}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程的一般式和標(biāo)準(zhǔn)式，考查線段長(zhǎng)的比為定值的求法，以及實(shí)數(shù)的取值范圍，注意運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和轉(zhuǎn)化思想，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．