【題目】已知函數(,且).
(1)求函數的極值點;
(2)當時,證明:.
【答案】(1)當時,函數的極小值點為,無極大值點;當時,函數的極小值點為,無極大值點.(2)見解析
【解析】
(1)根據導函數分類討論函數的單調區(qū)間即可得到極值點;
(2)結合(1)得出的單調性可得,構造函數求出最小值即可得證.
(1)函數的定義域為.
,
①當時,令,得;令,得,
故在上單調遞減,在上單調遞增,函數的極小值點為.
②當時,令,得;令,得,
故在上單調遞減,在上單調遞增,函數的極小值點為.
所以當時,函數的極小值點為,無極大值點;當時,函數的極小值點為,無極大值點.
(2)證明:當時,由(1)得,在上單調遞減,在上單調遞增,
所以,
所以,
令(),則(),
,
當時,;當時,,
所以()在上單調遞減,在上單調遞增,
故,
所以當時,.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】圓周率是圓的周長與直徑的比值,一般用希臘字母表示.早在公元480年左右,南北朝時期的數學家祖沖之就得出精確到小數點后7位的結果,他是世界上第一個把圓周率的數值計算到小數點后第7位的人,這比歐洲早了約1000年.生活中,我們也可以通過如下隨機模擬試驗來估計的值:在區(qū)間內隨機取個數,構成個數對,設,能與1構成鈍角三角形三邊的數對有對,則通過隨機模擬的方法得到的的近似值為( )
A.B.C.D.
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【題目】把編號為1,2,3,4,5的五個大小、形狀相同的小球,隨機放入編號為1,2,3,4,5的五個盒子里.每個盒子里放入一個小球.
(1)求恰有兩個球的編號與盒子的編號相同的概率;
(2)設恰有個小球的編號與盒子編號相同,求隨機變量的分布列與期望.
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【題目】已知函數,.
(1)若在點處的切線與直線垂直,求函數在點處的切線方程;
(2)若對于,恒成立,求正實數的取值范圍;
(3)設函數,且函數有極大值點,求證:.
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【題目】為了調節(jié)高三學生學習壓力,某校高三年級舉行了拔河比賽,在賽前三位老師對前三名進行了預測,于是有了以下對話:老師甲:“7班男生比較壯,7班肯定得第一名”.老師乙:“我覺得14班比15班強,14班名次會比15班靠前”.老師丙:“我覺得7班能贏15班”.最后老師丁去觀看完了比賽,回來后說:“確實是這三個班得了前三名,且無并列,但是你們三人中只有一人預測準確”.那么,獲得一、二、三名的班級依次為( )
A.7班、14班、15班B.14班、7班、15班
C.14班、15班、7班D.15班、14班、7班
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