Question

【題目】已知橢圓的離心率為，直線與橢圓的兩交點(diǎn)間距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖，設(shè)是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，由原點(diǎn)向圓引兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)，若直線的斜率均存在，并分別記為，求證：為定值.

（3）在（2）的條件下，試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值；（3）為定值，定值為25．

【解析】

（1）由橢圓的離心率公式求得，由橢圓過點(diǎn)，代入橢圓方程，即可求得和的值，求得橢圓方程；

（2）利用點(diǎn)到直線距離公式，同理求得：，則，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理即可求得為定值；

（3）將直線和的方程，代入橢圓方程，即可求得和點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，由，即可求得為定值．

解：（1）由橢圓的離心率，則，

由直線過點(diǎn)，代入，解得：，則，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；

（2）證明：由直線，直線，

由直線為圓的切線，

，，

同理可得：，

，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，

由，△，則，

由，在橢圓上，即，

，

為定值；

（3）經(jīng)判斷為定值，

設(shè)，，，，

聯(lián)立，解得，

，

同理，得，

由，

得，

，

，

，

為定值，定值為25．