Question

6．已知函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，x∈R，以下結(jié)論：
①f（x）的最小正周期是π；
②f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（-\frac{π}{6}，0）$對(duì)稱；
③f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{6}$對(duì)稱；
④f（x）在區(qū)間$（0，\frac{π}{3}）$上是增函數(shù)；
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 運(yùn)用正弦型函數(shù)的周期公式，即可判斷①；由正弦函數(shù)的對(duì)稱中心的特點(diǎn)，計(jì)算即可判斷②；
由正弦函數(shù)的對(duì)稱軸的特點(diǎn)，計(jì)算即可判斷③；由正弦函數(shù)的增區(qū)間，解不等式即可判斷④．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，
①f（x）的最小正周期是T=$\frac{2π}{2}$=π，故①對(duì)；
②由f（-$\frac{π}{6}$）=2sin（-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0，
可得f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)$（-\frac{π}{6}，0）$對(duì)稱，故②對(duì)；
③由f（$\frac{π}{6}$）=2sin（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，不為最值，
f（x）的圖象不關(guān)于直線$x=\frac{π}{6}$對(duì)稱，故③錯(cuò)；
④由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
則f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{12}$）遞增，在（$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）遞減，故④錯(cuò)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要是周期和對(duì)稱性、單調(diào)性的判斷，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．