Question

如圖，分別是正三棱柱的棱、的中點(diǎn)，且棱，.

（1）求證：平面；

（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由。

 

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）不存在

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)交于F，連結(jié)DF，EF，因?yàn)镋是的中點(diǎn)，所以EF平行且等于的一半，又因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以，所以是平行四邊形，所以DF∥A1E，所以平面；（2）在正三棱柱中建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)在AA1上存在M滿(mǎn)足條件，求出，設(shè)=()，用表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量法求出二面角M-BC1-B1的大小的余弦值，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，若能解出則存在，否則不存在.

試題解析：【法一】（1）在線段上取中點(diǎn)，連結(jié)、.

則，且，∴是平行四邊形 3′

∴，又平面，平面，

∴平面. 5′

（2）由，，得平面.

過(guò)點(diǎn)作于，連結(jié).

則為二面角的平面角 8′

在中，由，得

邊上的高為，∴，又，

∴，∴. 11′

∴在棱上時(shí)，二面角總大于.

故棱上不存在使二面角的大小為的點(diǎn)． 12′

【法二】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、.

∴、、、、、

、. 4′

（1）∵且平面，

∴平面. 5′

（2）取，則，.

∴，，即為面的一個(gè)法向量 7′

同理，取，則，.

∴，，為平面的一個(gè)法向量 9′

，∴二面角為．

又∵，∴二面角大于． 11′

∴在棱上時(shí)，二面角總大于.

故棱上不存在使二面角的大小為的點(diǎn)． 12′

考點(diǎn)：空間線面平行的證明，二面角的計(jì)算，空間想象能力，運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力