已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(-3,0)、(3,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足△MF1F2的周長為16,
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)若線段PQ是軌跡C上過點(diǎn)F2的弦,求△PQF1的內(nèi)切圓半徑最大值.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)由題意得|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|,得M的軌跡是橢圓,設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,可得2a=10,c=3,又b2=a2-c2.解出即可.
(2)設(shè)過點(diǎn)F2的直線方程:x=my+3,與橢圓聯(lián)立方程組消去x得:(16m2+25)y2+96my-256=0,設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=160•
m2+1
(16m2+25)2
,令t=m2+1,再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出.
解答: 解:(1)由題意得|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|,得M的軌跡是橢圓,
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,
∴2a=10,c=3,
∴b2=a2-c2=16.
即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是:
x2
25
+
y2
16
=1

(2)設(shè)過點(diǎn)F2的直線方程:x=my+3,與橢圓聯(lián)立方程組消去x得:
(16m2+25)y2+96my-256=0,
設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則y1+y2=
-96m
16m2+25
,y1y2=
-256
16m2+25
,
|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=
(
-96m
16m2+25
)2-
4×(-256)
16m2+25
=160•
m2+1
(16m2+25)2
,
令t=m2+1,則|y1-y2|=160•
1
(16t+9)2
t
=160×
1
256t+
81
t
+288
32
5
,
在t=1時(shí),上式取到最小值,即m=0,此時(shí)PQ⊥x軸,且|PQ|=
32
5

此時(shí)△P F1Q的面積達(dá)到最大值S△PQF1=
1
2
|F1F2|•|PQ|
=
96
5

由于△PQF1的周長是定值20,所以當(dāng)面積取最大值時(shí),內(nèi)切圓半徑有最大值
48
25
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式,考查了三角形的內(nèi)切圓問題,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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