某高校甲,乙,丙,丁四位研究生新生可通過(guò)抽簽的方式,在A,B,C,D四位老師為導(dǎo)師,且他們對(duì)導(dǎo)師的選擇相互獨(dú)立.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三人都選擇D為導(dǎo)師的概率;
(Ⅱ)求四位研究生至少有一人選擇C作為導(dǎo)師的概率;
(Ⅲ)設(shè)四位選手選擇B為導(dǎo)師的人數(shù)ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
考點(diǎn):離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列
專題:概率與統(tǒng)計(jì)
分析:(Ⅰ)由甲、乙、丙三人每個(gè)人選擇D為導(dǎo)師的概率均為
1
4
,能求出甲、乙、丙三人都選擇D為導(dǎo)師的概率.(Ⅱ)利用對(duì)立事件概率公式能求出四位研究生至少有一人選擇C作為導(dǎo)師的概率.
(Ⅲ)由已知得ξ的可能取值為0,1,2,3,4,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
解答: 解:(Ⅰ)∵甲、乙、丙三人每個(gè)人選擇D為導(dǎo)師的概率均為
1
4
,
∴甲、乙、丙三人都選擇D為導(dǎo)師的概率:
p1=
1
4
×
1
4
×
1
4
=
1
64

(Ⅱ)四位研究生至少有一人選擇C作為導(dǎo)師的概率:
p2=1-(
3
4
4=
175
256

(Ⅲ)由已知得ξ的可能取值為0,1,2,3,4,
P(ξ=0)=
C
0
4
(
3
4
)4
=
84
256

P(X=1)=
C
1
4
(
1
4
)(
3
4
)3
=
27
64
,
P(X=2)=
C
2
4
(
1
4
)2(
3
4
)2
=
27
128
,
P(X=3)=
C
3
4
(
1
4
)3(
3
4
)
=
3
64

P(X=4)=
C
4
4
(
1
4
)4
=
1
256
,
∴X的分布列為:
 X 0 1 2 3 4
 P 
84
256
 
27
64
 
27
128
 
3
64
 
1
256
EX=
84
256
+1×
27
64
+2×
27
128
+
3
64
+4×
1
256
=1.
點(diǎn)評(píng):本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,在歷年高考中都是必考題型之一.
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若對(duì)數(shù)式log(t-2)3有意義,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(  )
A、[2,+∞)
B、(2,3)∪(3,+∞)
C、(-∞,2)
D、(2,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知lnx=2+ln(
2
x
),求x.

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設(shè)F為雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為-1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn),若
AB
=-3
AF
,則雙曲線C的離心率e=( 。
A、
10
3
B、
5
2
C、
5
D、
34
3

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某校舉行12•9愛(ài)國(guó)知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽規(guī)則是:每位選手有兩種方式可供選擇:方式一:回答三個(gè)關(guān)于12•9的歷史知識(shí)試題;方式二:回答兩個(gè)社會(huì)主義核心價(jià)值觀的綜合試題.方式一答對(duì)一個(gè)得3分,答錯(cuò)得0分;方式二答對(duì)一個(gè)得2分,答錯(cuò)得0分.已知小李在兩種方式中答對(duì)每題的概率分別是
1
4
和p(0<p<1).
(1)若小李選擇方式一,求小李至少得3分的概率;
(2)若將兩種方式得分的數(shù)學(xué)期望高者作為選擇的標(biāo)準(zhǔn),如果小李最終選擇了方式二,求p的取值范圍.

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已知點(diǎn)F1,F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(-3,0)、(3,0),動(dòng)點(diǎn)M滿足△MF1F2的周長(zhǎng)為16,
(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)若線段PQ是軌跡C上過(guò)點(diǎn)F2的弦,求△PQF1的內(nèi)切圓半徑最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合A={y|y=x2-2x+2,-1≤x≤2},B={x|
2x-7
x-3
>1}},若任取x∈A,則x∈A∩B的概率為( 。
A、
2
3
B、
1
3
C、
3
4
D、
1
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知集合{(x,y)|
2x+y-4≤0
x+y≥0
x-y≥0
}表示的平面區(qū)域?yàn)棣,在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點(diǎn)P(x,y),若點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足不等式y(tǒng)≤kx的概率為
2
3
,則k=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

A(1,1,-1),B(2,2,2),C(3,2,4),則△ABC面積為
 

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