Question

某高校甲，乙，丙，丁四位研究生新生可通過(guò)抽簽的方式，在A，B，C，D四位老師為導(dǎo)師，且他們對(duì)導(dǎo)師的選擇相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人都選擇D為導(dǎo)師的概率；
（Ⅱ）求四位研究生至少有一人選擇C作為導(dǎo)師的概率；
（Ⅲ）設(shè)四位選手選擇B為導(dǎo)師的人數(shù)ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由甲、乙、丙三人每個(gè)人選擇D為導(dǎo)師的概率均為

1

4

，能求出甲、乙、丙三人都選擇D為導(dǎo)師的概率．（Ⅱ）利用對(duì)立事件概率公式能求出四位研究生至少有一人選擇C作為導(dǎo)師的概率．
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）∵甲、乙、丙三人每個(gè)人選擇D為導(dǎo)師的概率均為

1

4

，
∴甲、乙、丙三人都選擇D為導(dǎo)師的概率：
p₁=

1

4

×

1

4

×

1

4

=

1

64

．
（Ⅱ）四位研究生至少有一人選擇C作為導(dǎo)師的概率：
p₂=1-（

3

4

）⁴=

175

256

．
（Ⅲ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C

0 4

(

3

4

)4=

84

256

，
P（X=1）=

C

1 4

(

1

4

)(

3

4

)3=

27

64

，
P（X=2）=

C

2 4

(

1

4

)2(

3

4

)2=

27

128

，
P（X=3）=

C

3 4

(

1

4

)3(

3

4

)=

3

64

，
P（X=4）=

C

4 4

(

1

4

)4=

1

256

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	84 256	27 64	27 128	3 64	1 256

EX=0×

84

256

+1×

27

64

+2×

27

128

+3×

3

64

+4×

1

256

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．