【題目】若正項(xiàng)數(shù)列滿足:,則稱此數(shù)列為“比差等數(shù)列”.
(1)試寫出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前項(xiàng);
(2)設(shè)數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”,問是否存在最小值,如存在,求出最小值;如不存在,請說明理由;
(3)已知數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”,為其前項(xiàng)的和,試證明:.
【答案】(1)、、(答案不唯一);(2)存在,且的最小值為;(3)證明見解析.
【解析】
(1)根據(jù)“比差等數(shù)列”的定義得出,由,可得出,然后對取一個(gè)大于的值,可得出一個(gè)符合條件的“比差等數(shù)列”的前項(xiàng);
(2)由題意得出,且,利用基本不等式可求出的最小值;
(3)由可推出,利用數(shù)學(xué)歸納法證明,由此得出,、、、,然后利用同向不等式的可加性可證明出成立.
(1)由于數(shù)列為“比差等數(shù)列”,則,可得.
由于數(shù)列每項(xiàng)都是正數(shù),則,可得出.
若,則,.
因此,“比差等數(shù)列”的前項(xiàng)可以是、、(答案不唯一);
(2)由(1)可知,,則,
,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,因此,有最小值;
(3)由題意可得.
由于雙勾函數(shù)在上是增函數(shù),
,,且,則,
同理可得.
猜想,當(dāng)時(shí),.
假設(shè)當(dāng)時(shí),猜想成立,即;
那么當(dāng)時(shí),由于函數(shù)在上是增函數(shù),
且,
所以,.
由歸納原理可知,當(dāng)時(shí),.
于是有,、、、,
將上述不等式全部相加得.
因此,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面四邊形中,,現(xiàn)將沿四邊形的對角線折起,使點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn),如圖2,這時(shí)平面平面.
(1)求直線與平面所成角的正切值;
(2)求二面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了應(yīng)對金融危機(jī),決定適當(dāng)進(jìn)行裁員,已知這家公司現(xiàn)有職工人(,且為10的整數(shù)倍),每人每年可創(chuàng)利100千元,據(jù)測算,在經(jīng)營條件不變的前的提下,若裁員人數(shù)不超過現(xiàn)有人數(shù)的30%,則每裁員1人,留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利1千元(即若裁員人,留崗員工可多創(chuàng)利潤千元);若裁員人數(shù)超過現(xiàn)有人數(shù)的30%,則每裁員1人,留崗員工每人每年就能多創(chuàng)利2千元(即若裁員人,留崗員工可多創(chuàng)利潤千元),為保證公司的正常運(yùn)轉(zhuǎn),留崗的員工數(shù)不得少于現(xiàn)有員工人數(shù)的50%,為了保障被裁員工的生活,公司要付給被裁員工每人每年20千元的生活費(fèi).
(1)設(shè)公司裁員人數(shù)為,寫出公司獲得的經(jīng)濟(jì)效益(千元)關(guān)于的函數(shù)(經(jīng)濟(jì)效益=在職人員創(chuàng)利總額—被裁員工生活費(fèi));
(2)為了獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益,該公司應(yīng)裁員多少人?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局于2004年5月31日發(fā)布了新的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗(yàn)》國家標(biāo)準(zhǔn).新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定,車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升,小于毫克/百毫升為飲酒駕車,血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升為醉酒駕車.經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn),喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的“散點(diǎn)圖”如下圖,該函數(shù)近似模型如下:.
又已知?jiǎng)偤眠^1小時(shí)時(shí)測得酒精含量值為毫克/百毫升.根據(jù)上述條件,解答以下問題:
(1)試計(jì)算喝1瓶啤酒多少小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值?最大值是多少?
(2)試計(jì)算喝1瓶啤酒后多少小時(shí)后才可以駕車?(時(shí)間以整分鐘計(jì)算)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外環(huán)線同時(shí)運(yùn)行,內(nèi)、外環(huán)線的長均為30千米(忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異).
(1)當(dāng)9列列車同時(shí)在內(nèi)環(huán)線上運(yùn)行時(shí),要使內(nèi)環(huán)線乘客最長候車時(shí)間為10分鐘,求內(nèi)環(huán)線列車的最小平均速度;
(2)新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為25千米/小時(shí),外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時(shí).現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運(yùn)行,要使內(nèi)外環(huán)線乘客的最長候車時(shí)間之差不超過1分鐘,向內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運(yùn)行?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定數(shù)列,記該數(shù)列前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為,即,該數(shù)列后項(xiàng)中的最小項(xiàng)為,記,;
(1)對于數(shù)列:3,4,7,1,求出相應(yīng)的,,;
(2)若是數(shù)列的前項(xiàng)和,且對任意,有,其中為實(shí)數(shù),且,.
(。┰O(shè),證明:數(shù)列是等比數(shù)列;
(ⅱ)若數(shù)列對應(yīng)的滿足對任意的正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,為兩非零有理數(shù)列(即對任意的,均為有理數(shù)),為一無理數(shù)列(即對任意的,為無理數(shù)).
(1)已知,并且對任意的恒成立,試求的通項(xiàng)公式.
(2)若為有理數(shù)列,試證明:對任意的,恒成立的充要條件為.
(3)已知,,對任意的,恒成立,試計(jì)算.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)的圖象,將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把所得圖象向右平移個(gè)單位長度,得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)和的解析式;
(2)若,求的所有可能的值;
(3)求函數(shù)(為正常數(shù))在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】張軍自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家干果店,銷售的干果中有松子、開心果、腰果、核桃,價(jià)格依次為120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克,為增加銷量,張軍對這四種干果進(jìn)行促銷:一次購買干果的總價(jià)達(dá)到150元,顧客就少付x(2x∈Z)元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,張軍會(huì)得到支付款的80%.
①若顧客一次購買松子和腰果各1千克,需要支付180元,則x=________;
②在促銷活動(dòng)中,為保證張軍每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為_____.
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