【題目】如圖1,在平面四邊形中,
,現(xiàn)將
沿四邊形
的對(duì)角線
折起,使點(diǎn)
運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)
,如圖2,這時(shí)平面
平面
.
(1)求直線與平面
所成角的正切值;
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1);(2)2.
【解析】
解法一:(幾何方法)
(1)過(guò)向
做垂線,垂足為
,連接
,通過(guò)線面垂直的證明得到
在平面
內(nèi)射影為
,再根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系計(jì)算出
的值即為直線
與平面
所成角的正切值;
(2)利用中點(diǎn)
,過(guò)點(diǎn)
做
,垂足為
,連接
,通過(guò)證明得到二面角的平面角為
,再計(jì)算出
的值即為二面角的正切值;
解法二:(向量方法)
(1)建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求解出平面的法向量并計(jì)算出線面角的正弦,由此可計(jì)算出線面角的正切值;
(2)計(jì)算出平面的法向量和平面
的法向量,根據(jù)兩個(gè)向量的余弦值計(jì)算出二面角的余弦值,即可求解出二面角的正切值.
解法一:(1),
,
,
,
為正三角形,
過(guò)點(diǎn)向
做垂線,垂足為
,連接
,
平面
平面
,
為交線,
平面
,
為
在平面
內(nèi)射影,
就是直線
與平面
所成角,
在直角三角形中,
,
,
,
,
,
設(shè)為
中點(diǎn),連接
,易知
,
且為
中點(diǎn),
在直角三角形中,
,
,
,
又平面
,且
平面
,
,
,
直線
與平面
所成角的正切值為
.
(2)平面
平面
,
為交線,且
,
平面
,
過(guò)點(diǎn)做
,垂足為
,連接
,
,
,
平面
,
,
就是二面角
的平面角,
在直角三角形中,
,
,
,
二面角
的正切值為2.
解法二:
為正三角形,
設(shè)為
中點(diǎn),則
,
在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)
作垂直于
的直線
.
平面
平面
,
以為坐標(biāo)原點(diǎn),
為
軸,
為
軸,直線
為
軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
由平面幾何知識(shí),易得,,
,
(1)
又軸
平面
,
可取
為平面
的法向量.
設(shè)直線與平面
所成的角為
,
則
直線
與平面
所成的正切值為
.
(2)設(shè)平面的法向量為
.
,
,即
,
令,得
,
又平面
的法向量為
,
,
,
,
二面角
的正切值為2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校共有學(xué)生2000人,其中男生1100人,女生900人為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均課外閱讀時(shí)間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均課外閱讀時(shí)間(單位:小時(shí))
(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?
(2)如圖,根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均課外閱讀時(shí)間的頻率分布直方圖,其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為.若在樣本數(shù)據(jù)中有38名女學(xué)生平均每周課外閱讀時(shí)間超過(guò)2小時(shí),請(qǐng)完成每周平均課外閱讀時(shí)間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均課外閱讀時(shí)間與性別有關(guān)”.
男生 | 女生 | 總計(jì) | |
每周平均課外閱讀時(shí)間不超過(guò)2小時(shí) | |||
每周平均課外閱讀時(shí)間超過(guò)2小時(shí) | |||
總計(jì) |
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)的值域?yàn)?/span>
,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,
,
,點(diǎn)
是邊
上一點(diǎn),且
,點(diǎn)
是
的中點(diǎn),將
沿著
折起,使點(diǎn)
運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)
處,且滿足
.
(1)證明:平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度.已知曲線
,過(guò)點(diǎn)
的直線
的參數(shù)方程為
.直線
與曲線
分別交于
、
.
(1)求的取值范圍;
(2)若、
、
成等比數(shù)列,求實(shí)數(shù)
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓
(
)的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別是
、
,
在橢圓
上運(yùn)動(dòng).
(1)若對(duì)有最大值為120°,求出
、
的關(guān)系式;
(2)若點(diǎn)是在橢圓上位于第一象限的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作直線
的垂線
,過(guò)
作直線
的垂線
,若直線
、
的交點(diǎn)
在橢圓
上,求點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)若設(shè),在(2)成立的條件下,試求出
、
兩點(diǎn)間距離的函數(shù)
,并求出
的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列的前
項(xiàng)1,3,7,
,
(
)組成集合
,從集合
中任取
(
)個(gè)數(shù),其所有可能的
個(gè)數(shù)的乘積的和為
(若只取一個(gè)數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記
.例如:當(dāng)
時(shí),
,
,
;
時(shí),
,
,
,
.
(1)當(dāng)時(shí),求
,
,
,
的值;
(2)證明:時(shí)集合
的
與
時(shí)集合
的
(為以示區(qū)別,用
表示)有關(guān)系式
(
,
);
(3)試求(用
表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本
,當(dāng)年產(chǎn)量不足80千件時(shí),
(萬(wàn)元);當(dāng)年產(chǎn)量不小于80千件時(shí),
(萬(wàn)元),每件售價(jià)為0.05萬(wàn)元,通過(guò)市場(chǎng)分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.
(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量
(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若正項(xiàng)數(shù)列滿足:
,則稱(chēng)此數(shù)列為“比差等數(shù)列”.
(1)試寫(xiě)出一個(gè)“比差等數(shù)列”的前項(xiàng);
(2)設(shè)數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”,問(wèn)
是否存在最小值,如存在,求出最小值;如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)已知數(shù)列是一個(gè)“比差等數(shù)列”,
為其前
項(xiàng)的和,試證明:
.
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