Question

19．是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=cos²x+asinx+$\frac{5a}{8}$-$\frac{5}{2}$在閉區(qū)間[0，π]的最大值是0？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a的值；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），令sinx=t，t∈[0，1]，求出f（t）在t∈[0，1]的最大值函數(shù)g（a），再令g（a）=0，求對(duì)應(yīng)a的值是否存在即可．

解答 解：∵y=cos²x+asinx+$\frac{5a}{8}$-$\frac{5}{2}$=-sin²x+asinx+$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$，
令sinx=t，t∈[0，1]，
∴f（t）=-t²+at+$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$，對(duì)稱軸為t=$\frac{1}{2}$a，
①當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（t）在[0，1]上是減函數(shù)，
∴f（t）的最大值是g（a）=f（0）=$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$=0，解得a=$\frac{12}{5}$，不符合題意，
②當(dāng)a≥2時(shí)，函數(shù)f（t）在[0，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最大值是g（a）=f（1）=$\frac{13a}{8}$-$\frac{5}{2}$=0，解得a=$\frac{20}{13}$，不符合題意，
③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在x∈[0，1]的最大值是g（$\frac{1}{2}$a）=f（$\frac{1}{2}$a）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5a}{8}$-$\frac{3}{2}$=0，
解得a=-4（舍去），或a=$\frac{3}{2}$．
綜上，存在a=$\frac{3}{2}$時(shí)，函數(shù)在閉區(qū)間[0，π]上的最大值是0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，其中求出最大值函數(shù) g（a）是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．