Question

8．S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．已知a_n＞0，a_n²+a_n=2S_n+2．
（I）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，即可得出．
（II）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（I）∵a_n＞0，a_n²+a_n=2S_n+2．∴n=1時(shí)，${a}_{1}^{2}+{a}_{1}$=2a₁+2，解得a₁=2．
n≥2時(shí)，${a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$=2a_n-1+2，可得${a}_{n}^{2}+{a}_{n}$-（${a}_{n-1}^{2}+{a}_{n-1}$）=2a_n，化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，公差為1．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
（II）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（n+1）（n+2）}$=2$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2$[（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）]$
=2$（\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{n}{n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．