Question

16．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)A（{2，$\sqrt{2}}$）在橢圓上，且滿足$\overrightarrow{A{F_2}}$•$\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$=0．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）動直線l：y=kx+m與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，是否存在圓x²+y²=r²使得l恰好是該圓的切線，若存在，求出r；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知c=2，將A代入橢圓，列方程組，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）將直線l的方程代入橢圓方程，△＞0，根據(jù)韋達(dá)定理定理求得x₁+x₂及x₁•x₂，代入直線l方程求得y₁•y₂，由OP⊥OQ，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得x₁x₂+y₁y₂=0，求得m的取值范圍，l與圓x²+y²=r²相切，代入即可求得r的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{A{F_2}}•\overrightarrow{{F_1}{F_2}}=0$，
∴AF₂⊥F₁F₂，
∵A在橢圓上，
∴$\frac{c^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$，解得${y_0}=\frac{b^2}{a}$．…（1分）
∴$\left\{{\begin{array}{l}{c=2}\\{\frac{b^2}{a}=\sqrt{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，解得a²=8，b²=4，．…（3分）
∴橢圓$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．…（4分）
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
將l：y=kx+m代入$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$，整理得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，…（5分）
∵△＞0，
∴8k²-m²+4＞0，…（6分）
且${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=-\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，
∴${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+km（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，…（7分）
∵OP⊥OQ，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即$\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{{m^2}-8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}=0$，
∴${k^2}=\frac{{3{m^2}-8}}{8}$，…（8分）
由$\frac{{3{m^2}-8}}{8}≥0$和8k²-m+4＞0，得${m^2}≥\frac{8}{3}$即可．…（9分）
∵l與圓x²+y²=r²相切，
∴${r^2}=\frac{{|m{|^2}}}{{1+{k^2}}}=\frac{8}{3}$，…（11分）
存在圓${x^2}+{y^2}=\frac{8}{3}$符合題意．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問題及解決問題的能力，屬于中檔題．