Question

【題目】已知函數(shù)．

（I）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程．

（Ⅱ）若直線(xiàn)為曲線(xiàn)的切線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）4x﹣y﹣18＝0（Ⅱ）y＝13x，切點(diǎn)為（﹣2，﹣26）

【解析】

（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3x2+1，求得在點(diǎn)切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解切線(xiàn)的方程；

（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求得切線(xiàn)的斜率為1+3m2，根據(jù)切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，列出方程，求得的值，進(jìn)而可求得切線(xiàn)的方程.

（Ⅰ）由題意，函數(shù)f（x）＝x3+x﹣16的導(dǎo)數(shù)為3x2+1，得，

即曲線(xiàn)y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)斜率為4，且切點(diǎn)為（1，﹣14），

所以切線(xiàn)方程為y+14＝4（x﹣1），即為4x﹣y﹣18＝0；

（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），可得切線(xiàn)的斜率為1+3m2，

又切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，可得1+3m2，解得m＝﹣2，

即切點(diǎn)為（﹣2，﹣26），所以切線(xiàn)方程為y+26＝13（x+2），即y＝13x．