【題目】已知定義在R上的函數(shù)f(x)= (a∈R)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)= 的定義域為(﹣2,+∞).
(1)求a的值;
(2)若g(x)= 在(﹣2,+∞)上單調(diào)遞減,根據(jù)單調(diào)性的定義求實數(shù)m的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間(﹣1,1)上有且僅有兩個不同的零點,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù),∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴ =﹣ ,得a=0
(2)解:∵ 在(﹣2,+∞)上單調(diào)遞減,
∴任給實數(shù)x1,x2,當(dāng)﹣2<x1<x2時,g(x1)>g(x2),
∴
∴m<0
(3)解:由(1)得f(x)= ,令h(x)=0,即 .
化簡得x(mx2+x+m+2)=0.
∴x=0或 mx2+x+m+2=0
若0是方程mx2+x+m+2=0的根,則m=﹣2,
此時方程mx2+x+m+2=0的另一根為 ,符合題意
若0不是方程mx2+x+m+2=0的根,
則函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間(﹣1,1)上有且僅有兩個不同的零點
等價于方程mx2+x+m+2=0(※)在區(qū)間(﹣1,1)上有且僅有一個非零的實根
①當(dāng)△=12﹣4m(m+2)=0時,得 .
若 ,則方程(※)的根為 ,符合題意;
若 ,則與(2)條件下m<0矛盾,不符合題意.
∴
③當(dāng)△>0時,令ω(x)=mx2+x+m+2
由 ,得 ,
解得
綜上所述,所求實數(shù)m的取值范圍是
【解析】(1)根據(jù)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),求出a=0即可;(2)根據(jù)函數(shù)g(x)在(﹣2,+∞)上單調(diào)遞減,得到g(x1)﹣g(x2)>0,從而求出m的范圍即可;(3)問題轉(zhuǎn)化為x=0或 mx2+x+m+2=0,通過討論m的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識,掌握單調(diào)性的判定法:①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量,且x1<x2;②判定f(x1)與f(x2)的大小;③作差比較或作商比較.
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【題目】正四棱錐S﹣ABCD中,O為頂點在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點,且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是 .
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【題目】已知函數(shù) 的定義域為集合A,B={x|x>3或x<2}.
(1)求A∩B;
(2)若C={x|x<2a+1},B∩C=C,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù) 是奇函數(shù)
(1)求常數(shù)a的值
(2)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣∞,0)上的單調(diào)性,并給出證明.
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【題目】甲廠根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計規(guī)律:每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺),其總成本為G(x)(萬元),其中固定成本為3萬元,并且每生產(chǎn)1百臺的生產(chǎn)成本為1萬元(總成本=固定成本+生產(chǎn)成本),銷售收入R(x)= ,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉),根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律,請完成下列問題:
(1)寫出利潤函數(shù)y=f(x)的解析式(利潤=銷售收入﹣總成本);
(2)甲廠生產(chǎn)多少臺新產(chǎn)品時,可使盈利最多?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=( )x , g(x)=x2 , 對于不相等的實數(shù)x1 , x2 , 設(shè)m= ,n= ,則下列說法正確的有( )
①對于任意不相等的實數(shù)x1 , x2 , 都有m<0;
②對于任意不相等的實數(shù)x1 , x2 , 都有n<0;
③存在不相等的實數(shù)x1 , x2 , 使得m=n.
A.①
B.①③
C.②③
D.①②③
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【題目】已知集合A=[2,log2t],集合B={x|y= },
(1)對于區(qū)間[a,b],定義此區(qū)間的“長度”為b﹣a,若A的區(qū)間“長度”為3,試求實數(shù)t的值.
(2)若AB,試求實數(shù)t的取值范圍.
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【題目】在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,cosB=.
(Ⅰ)若c=2a,求的值;
(Ⅱ)若C-B=,求sinA的值.
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【題目】某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件,按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位:mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件,量其內(nèi)徑尺寸,得結(jié)果如下表:
甲廠:
分組 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
頻數(shù) | 12 | 63 | 86 | 182 | 92 | 61 | 4 |
乙廠:
分組 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
頻數(shù) | 29 | 71 | 85 | 159 | 76 | 62 | 18 |
(1)試分別估計兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率;
(2)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表,并問是否有的把握認為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.
甲 廠 | 乙 廠 | 合計 | |
優(yōu)質(zhì)品 | |||
非優(yōu)質(zhì)品 | |||
合計 |
附:
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