Question

若二項(xiàng)式(3x+

1

x2

)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是64，則這個(gè)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為

27

．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和和公式列出方程求出n的值，將n的值代入二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出r的值，將r的值代入通項(xiàng)求出常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：∵當(dāng)x=1時(shí)可以求得開式中各項(xiàng)的系數(shù)的和為4ⁿ．
令4ⁿ=64
解得n=3
∴(3x+

1

x2

)n=(3x+

1

x2

)3
展開式的通項(xiàng)為T_r+1=C₃^r（3x）^3-r(

1

x2

)r=3^3-r×C₃^r×x^3-3r．
令3-3r=0得r=1
∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)的值為3²×C₃¹=27．
故答案為：27．

點(diǎn)評：解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題一般利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；二項(xiàng)式系數(shù)和公式為2ⁿ．令x=1可得所有項(xiàng)系數(shù)的和．