Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，若函數(shù)f（x）滿足條件：存在[a，b]⊆D，使得f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[$\frac{a}{n}$，$\frac{n}$]（n∈N^*），則稱函數(shù)f（x）為“n倍縮函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log₃（3^x+t）為“2倍縮函數(shù)”，則t的取值范圍為0＜t＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為方程log₃（3^x+t）=$\frac{x}{2}$有兩個不同的實數(shù)解，分離出t，利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出t的取值范圍．

解答 解：由題意得[a，b]⊆D，使得log₃（3^a+t）=$\frac{a}{2}$，log₃（3^b+t）=$\frac{2}$，
即方程log₃（3^x+t）=$\frac{x}{2}$有兩個不同的解，
即3^x+t=${3}^{\frac{x}{2}}$有兩個不同的解，
變形得t=${3}^{\frac{x}{2}}$-3^x有兩個不同的解，
令${3}^{\frac{x}{2}}$=m，則m＞0，
換元得t=m-m²有兩個不同的正數(shù)解，
即y=t與y=m-m²有兩個不同交點，
∵y=-m²+m=-${（m-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
∴0＜t＜$\frac{1}{4}$．
故答案為：0＜t＜$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)性與轉(zhuǎn)化思想以及新定義的應(yīng)用問題，是綜合性題目．