Question

已知圓M：x²+（y-1）²=r²（r＞0）與x軸交于A（-2，0），B（2，0）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線y=x（x≥0）交圓M于點(diǎn)C，射線y=-x（x≥0）交圓M于點(diǎn)D．
（1）求r的值和弦CD所在直線的方程；
（2）弦CD上是否存在一點(diǎn)N，使得∠AND=∠BND？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）利用圓M：x²+（y-1）²=r²（r＞0）與x軸交于A（-2，0），B（2，0）兩點(diǎn)，求出r，再求出C，D的坐標(biāo)，即可求出弦CD所在直線的方程；
（2）ND為∠ANB的平分線，設(shè)CD交x軸于點(diǎn)E，則E(

4

3

，0)，設(shè)N（a，3a-4），利用角平分線的性質(zhì)，可得

(a+2)2+(3a-4)2

(a-2)2+(3a-4)2

=5，整理得6a²-17a+12=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意，r=

5

，∴圓M：x²+（y-1）²=5．
圓M：x²+（y-1）²=5與y=x（x≥0），聯(lián)立可得x=2，y=2，即C（2，2）；
圓M：x²+（y-1）²=5與y=-x（x≥0），聯(lián)立可得x=1，y=-1，即C（1，-1）；
∴弦CD所在直線的方程為3x-y-4=0；
（2）∵∠AND=∠BND，
∴ND為∠ANB的平分線，
設(shè)CD交x軸于點(diǎn)E，則E(

4

3

，0)
所以|AE|=

10

3

，|BE|=

2

3

，則

|NA|

|NB|

=

|EA|

|EB|

=5
設(shè)N（a，3a-4），

(a+2)2+(3a-4)2

(a-2)2+(3a-4)2

=5，整理得6a²-17a+12=0
解得a=

3

2

或a=

4

3

代入得N(

3

2

，

1

2

)或N(

4

3

，0)
因?yàn)?span id="ioyygoo" class="MathJye">N(

4

3

，0)在AB上，且CD不不垂直x軸，故N(

4

3

，0)不符合
所以弦CD上存在一點(diǎn)N(

3

2

，

1

2

)，使得∠AND=∠BND…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程，考查角平分線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．