Question

已知函數f（x）=

x-1

x+2

，x∈[2，4]．
（1）判斷并證明函數的單調性；
（2）若f（x）＜a在x∈[2，4]上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）直接利用函數單調性的定義證明；
（2）由（1）中求出的單調性，利用單調性求得函數在[2，4]上的最大值，則滿足f（x）＜a的a的范圍可求．

解答： 解：（1）函數f（x）在[2，4]內為增函數．
證明如下：任取2≤x₁＜x₂≤4，
則f(x1)-f(x2)=

x1-1

x1+2

-

x2-1

x2+2

=

(x1-1)•(x2+2)-(x2-1)•(x1+2)

(x1+2)•(x2+2)

=

3(x1-x2)

(x1+2)•(x2+2)

．
∵2≤x₁＜x₂≤4，
∴x₁-x₂＜0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數f（x）在[2，4]內為增函數；
（2）解：∵函數f（x）在[2，4]內為增函數，
∴函數f（x）在[2，4]內的最大值為f(4)=

4-1

4+2

=

1

2

．
由f（x）＜a在x∈[2，4]上恒成立，
得a＞

1

2

．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，考查了利用單調性求函數的最值，是中檔題．