Question

13．已知$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$是不平行的兩個(gè)向量，k是實(shí)數(shù)，且$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}（{k∈R}）$．
（1）用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OP}$；
（2）若$|\overrightarrow{OA}|=2，|\overrightarrow{OB}|=1，∠AOB=\frac{2}{3}π$，記$|\overrightarrow{OP}|=f（k）$，求f（k）及其最小值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AO}$=k$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{OA}$=k（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）+$\overrightarrow{OA}$，
（2）利用（1）的結(jié)論，對(duì)$\overrightarrow{OP}$取平方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AO}$=k$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{OA}$=k（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）+$\overrightarrow{OA}$=（1-k）$\overrightarrow{OA}$+k$\overrightarrow{OB}$．
（2）$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2×$1×cos\frac{2π}{3}$=-1．∴|$\overrightarrow{OP}$|²=[（1-k）$\overrightarrow{OA}$+k$\overrightarrow{OB}$]²=4（1-k）²+k²-2k（1-k）=7k²-10k+4=7（k-$\frac{5}{7}$）²+$\frac{3}{7}$．
∴f（k）=$\sqrt{7{k}^{2}-10k+4}$．
f（k）的最小值為$\sqrt{\frac{3}{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)的最值．