Question

18．直線l過(guò)拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F且與C相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2），則拋物線C的方程為y²=4x或y²=8x．

Answer 1

分析 先利用點(diǎn)差法，求出AB的斜率，可得直線AB的方程為y=$\frac{p}{2}$（x-$\frac{p}{2}$），代入y²=2px，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得出拋物線C的方程．

解答 解：拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
兩式相減可得：y₁²-y₂²=2p（x₁-x₂），
∴k_AB=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{p}{2}$，
直線AB的方程為y=$\frac{p}{2}$（x-$\frac{p}{2}$），代入y²=2px，可得4px²-（4p²+32）x+p³=0
可得x₁+x₂=$\frac{{p}^{2}+8}{p}$=6，解之得p=2或4，
∴物線C的方程為y²=4x或y²=8x．
故答案為：y²=4x或y²=8x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線C的方程，考查點(diǎn)差法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．