Question

3．設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y）．
（1）若點M∈{（x，y）|1≤x≤4，1≤y≤4，x，y∈R}，設(shè)一點M到直線x-y=0的距離d＜$\sqrt{2}$為事件A，求事件A的概率；
（2）若點M∈{（x，y）|1≤x≤4，1≤y≤4，x，y∈z}，設(shè)隨機變量ξ為點M到直線x-y=0的距離，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）作出滿足條件的點M的可行域和滿足條件的事件A的點包含的基本事件的幾何區(qū)域，利用幾何概型能求出事件A的概率．
（2）利用列舉法求出點M的個數(shù)及點M到直線x-y=0的距離，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵點M∈{（x，y）|1≤x≤4，1≤y≤4，x，y∈R}，
∴作出滿足條件的點M的可行域為正方形ABCD，其邊長為3，面積為S=3²=9，
設(shè)一點M到直線x-y=0的距離d＜$\sqrt{2}$為事件A，
則滿足條件的事件A的點（x₁，y₁）滿足：
d=$\frac{|{x}_{1}-{y}_{1}|}{\sqrt{2}}＜\sqrt{2}$，∴|x₁-y₁|＜2，
∴事件A包含的基本事件是正方形ABCD中去掉兩個全等的直角△BEF和△DHG，
∵S_△BEF=S_△DGH=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴事件A的概率P（A）=$\frac{9-2×\frac{1}{2}}{9}$=$\frac{8}{9}$．
（2）∵點M∈{（x，y）|1≤x≤4，1≤y≤4，x，y∈z}，
∴M∈{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}，
∵設(shè)隨機變量ξ為點M到直線x-y=0的距離，
∴這16個點到直線x-y的距離依次為：0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，
∴ξ的可能取值為0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
P（ξ=0）=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{6}{16}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=$\sqrt{2}$）=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（ξ=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\sqrt{2}$	$\frac{3\sqrt{2}}{2}$
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Eξ=$0×\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{3}{8}+\sqrt{2}×\frac{1}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{8}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運用．