Question

17．若sinx+siny=$\frac{1}{3}$，則t=sinx-cos²y的最大值為$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 由已知等式表示出sinx，代入所求式子中利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，設(shè)siny=m∈[-$\frac{2}{3}$，1]，得到t關(guān)于m的二次函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及m的范圍求出t的最大值即可．

解答 解：∵cos²y=1-sin²y，sinx=$\frac{1}{3}$-siny，
∴t=sinx-cos²y=$\frac{1}{3}$-siny-（1-sin²y）=sin²y-siny-$\frac{2}{3}$，
令siny=m∈[-$\frac{2}{3}$，1]，則t=m²-m-$\frac{2}{3}$=（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{11}{12}$，m∈[-$\frac{2}{3}$，1]，
當(dāng)m=-$\frac{2}{3}$時(shí)，t取得最大值，最大值為$\frac{4}{9}$，
則t=sinx-cos²y的最大值為$\frac{4}{9}$，
故答案為：$\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．