Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cosωx，a），$\overrightarrow{n}$=（a，2+$\sqrt{3}$sinωx），ω＞0，函數f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-5（a∈R，a≠0）．
（1）當函數f（x）在x∈R上的最大值為3時，求a的值；
（2）在（1）的條件下，若函數y=f（x）-1在x∈（0，π]上至少有5個零點，求ω的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用數量積化簡函數，通過兩角和的正弦函數化為一個角的一個三角函數的形式，通過最大值求出a的值；
（2）由（1）可得y=f（x）-1=6sin（ωx+$\frac{π}{6}$），要在x∈（0，π]上至少有5個零點只需在區(qū)間（0，π]上出現(xiàn)$\frac{5}{2}$個周期即可，進而求出ω的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$-5=acosωx+$\sqrt{3}$asinωx+2a-5，…（1分）
=2asin（ωx+$\frac{π}{6}$）+2a-5，…（3分）
由當sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）=1時y_max=2+2a-5=3，得a=3…（6分）
（2）∵由（1）可得：f（x）=6sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+1，
∴y=f（x）-1=6sin（ωx+$\frac{π}{6}$），
∵函數y=f（x）-1在x∈（0，π]上至少有5個零點，
∴$\frac{5T}{2}$=$\frac{5}{2}×\frac{2π}{ω}$≤π，解得：ω≥5，
∴ω的最小值為5．…（12分）

點評 本題主要考查了平面向量數量積的運算，三角函數中的恒等變換應用，正弦函數的圖象和性質的應用，考查了數形結合思想的應用，屬于中檔題．