Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=xⁿ-mlnx-1，其中n∈N^*，n≥2，m≠0．
（1）當(dāng)n=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)m=1時，討論函數(shù)f（x）的零點情況．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的最小值，通過構(gòu)造函數(shù)結(jié)合零點存在性定理判斷函數(shù)的零點即可．

解答 解：（1）依題意得，f（x）=x²-mlnx-1，x∈（0，+∞），
∴$f'（x）=2x-\frac{m}{x}=\frac{{2{x^2}-m}}{x}$，
當(dāng)m＜0時，f'（x）＞0，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)m＞0時，令f'（x）＞0，得$x＞\frac{{\sqrt{2m}}}{2}$；令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{{\sqrt{2m}}}{2}$，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間$（{0，\frac{{\sqrt{2m}}}{2}}）$內(nèi)單調(diào)遞減；在區(qū)間$（{\frac{{\sqrt{2m}}}{2}，+∞}）$內(nèi)單調(diào)遞增．
（2）依題意得，f（x）=xⁿ-lnx-1，x∈（0，+∞），
∴$f'（x）=n{x^{n-1}}-\frac{1}{x}=\frac{{n{x^n}-1}}{x}$，
令f'（x₀）=0得$n{x_0}^n-1=0，{x_0}=\root{n}{{\frac{1}{n}}}$，
因為n≥2，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x₀）內(nèi)單調(diào)遞減；在區(qū)間（x₀，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
所以$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）=\frac{1}{n}-ln\root{n}{{\frac{1}{n}}}-1=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}lnn-1=\frac{1}{n}（{1+lnn-n}）$，
令p（x）=lnx-x+1（x≥2），則$p'（x）=\frac{1}{x}-1＜0$，
∴p（x）≤p（2）=ln2-1＜0，∴l(xiāng)nn-n+1＜0，即f（x₀）＜0，
∵${x_0}=\root{n}{{\frac{1}{n}}}＜1＜2$，∴f（2）＞f（1）=0，
又∵${x_0}=\root{n}{{\frac{1}{n}}}＞\frac{1}{n}＞\frac{1}{ne}$，∴$（{\frac{1}{ne}}）={（{\frac{1}{ne}}）^n}-ln\frac{1}{ne}-1={（{\frac{1}{ne}}）^n}+lnn＞0$，
根據(jù)零點存在性定理知，函數(shù)f（x）在$（{0，\root{n}{{\frac{1}{n}}}}）$和$（{\root{n}{{\frac{1}{n}}}，+∞}）$內(nèi)各有一個零點．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及零點存在性定理，是一道中檔題．