Question

13．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，與雙曲線${x^2}-{y^2}=\frac{1}{2}$有相同的焦點(diǎn)．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）過(guò)點(diǎn)F₁的直線l與該橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且|$\overrightarrow{{F}_{2}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}}$N|=$\frac{2\sqrt{26}}{3}$，求直線l的方程．
（Ⅲ）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任一條切線與橢圓C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且OA⊥OB？若存在，寫出該圓的方程，否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （I）由雙曲線方程求出橢圓的焦點(diǎn)，結(jié)合離心率求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（II）設(shè)出過(guò)F₁的直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由向量的模列式求得直線的斜率得答案；
（Ⅲ）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB，然后分當(dāng)圓的切線不垂直x軸時(shí)，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，與x²+2y²=2聯(lián)立得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，利用向量垂直與數(shù)量積間的關(guān)系求得直線方程，已知切線垂直x軸時(shí)得答案．

解答 解：（Ⅰ）由雙曲線${x^2}-{y^2}=\frac{1}{2}$，得${c}^{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，c=1，
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得a=$\sqrt{2}$，∴b²=1，
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F₁（-1，0），設(shè)過(guò)點(diǎn)F₁（-1，0）的直線l：y=k（x+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0，
設(shè)M（x₁．y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，
由于F₂（1，0），|$\overrightarrow{{F}_{2}M}$+$\overrightarrow{{F}_{2}}$N|=$\frac{2\sqrt{26}}{3}$，
則$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（x₂-1，y₂），
即有（x₁+x₂-2）²+（y₁+y₂）²=$\frac{4×26}{9}$，
即有（-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$-2）²+（$\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$）²=$\frac{104}{9}$，
解得k²=1．檢驗(yàn)：△=16k⁴-4（1+2k²）（（2k²-2）=16＞0，
故k=±1．
則直線l的方程為：y=x+1或y=-x-1；
（Ⅲ）假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB，
①當(dāng)圓的切線不垂直x軸時(shí)，設(shè)該圓的切線方程為y=kx+m，
與x²+2y²=2聯(lián)立得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴△=8（2k²-m²+1）＞0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=0$，
∴3m²-2k²-2=0，則2k²=3m²-2，
∴對(duì)任意k，符合條件的m滿足$\left\{\begin{array}{l}{3{m}^{2}-2≥0}\\{3{m}^{2}-2-{m}^{2}+1＞0}\end{array}\right.$，
∴${m}^{2}≥\frac{2}{3}$，即m≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵直線y=kx+m為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，
∴圓的半徑為r=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，${r}^{2}=\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{\frac{2}{3}（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}+1}=\frac{2}{3}$，
∴所求的圓為${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{2}{3}$，此時(shí)該圓的切線y=kx+m都滿足m≥$\frac{\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴所求的圓為${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{2}{3}$，
②當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線x=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
與橢圓x²+2y²=2的兩個(gè)交點(diǎn)為（$\frac{\sqrt{6}}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$）或（-$\frac{2}{3}$，±$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
滿足OA⊥OB，
綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓使圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且OA⊥OB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查計(jì)算能力，是壓軸題．