設(shè)斜率為k1的直線l1與橢圓
x2
2
+y2=1交于不同的A、B兩點(diǎn),直線y=k2x與直線l1的交點(diǎn)為M,(k1≠k2,且k1≠0).
(Ⅰ)若點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn),求k1k2的值;
(Ⅱ)把題設(shè)中的橢圓一般化為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0,a≠b),其他條件不變
(i)根據(jù)(Ⅰ)的運(yùn)算結(jié)果,寫出一個關(guān)于k1k2的一般性結(jié)論,并判斷與證明它的逆命題是否為真命題;
(ii)根據(jù)以上探究,在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)中寫出類似結(jié)論.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),利用點(diǎn)差法能證明k1k2=-
1
2

(2)(i)由已知條件推導(dǎo)出k1k2=-
b2
a2
,寫出逆命題,由斜率為k1的直線l1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
聯(lián)立方程組,由此利用韋達(dá)定理結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式能證明點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn).
(ii)由以結(jié)論,合理地歸納總結(jié),尋找規(guī)律,在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)中能寫出類似結(jié)論.
解答: 解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
因?yàn)辄c(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn),則M(
x1+x2
2
,
y1+y2
2
),
且有
x12
2
+y12=1
x22
2
+y22=1
,
兩式相減得:
(y1-y2)(y1+y2)
(x1-x2)(x1+x2)
=-
1
2
,即k1k2=-
1
2

(2)(i)斜率為k1的直線l1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
交于不同的A、B兩點(diǎn),
直線y=k2x與直線l1的交點(diǎn)為M,(k1≠k2,且k1≠0),
若點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn),則k1k2=-
b2
a2

逆命題:斜率為k1的直線l1與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1
交于不同的A、B兩點(diǎn),
直線y=k2x與直線l1的交點(diǎn)為M,(k1≠k2,且k1≠0),
k1k2=-
b2
a2
,則點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn).
證明如下:設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立方程
y=kx+m
x2
a2
+
y2
b2
=1
,得(b2+a2k12x2+2a2k1mx+a2m2-a2b2=0,
△=4a4k12m2-4(b2+a2k12)(a2m2-a2b2)>0
x1+x2=
-2a2k1m
b2+a2k12
,
y1+y2=k1(x1+x2)+2m=
2mb2
b2+a2k12

∴弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(
-a2k1m
b2+a2k12
,
mb2
b2+a2k12
),
將x=
-a2k1m
b2+a2k12
代入直線l2:y=k2x,
得y=
-a2k1k2m
b2+a2k12
,又k1k2=-
b2
a2
,
∴y=
mb2
b2+a2k12

即點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn).
(ii)斜率為k1的直線l1與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
交于不同的A、B兩點(diǎn),
直線y=k2x與直線l1的交點(diǎn)為M,(k1≠k2,且k1≠0),
點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)的充要條件為k1k2=
b2
a2
點(diǎn)評:本題考查兩直線的斜率的乘積的求法,考查橢圓和雙曲線中類似結(jié)論的總結(jié)與證明,解題時要認(rèn)真審題,注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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1
x
-x
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已知|
a
|=1,|
b
|=2.
(Ⅰ)若
a
b
,求
a
b
;
(Ⅱ)若
a
-
b
c
垂直,求當(dāng)k為何值時,(k
a
-
b
)⊥(
a
+2
b
).

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(Ⅱ)設(shè)bn=
1
anan+1
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1
2
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=
Sn
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(1)求a2,a3及數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)設(shè)bn=
1
anan+1
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2

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