Question

6．對于函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≤cosx}\\{cosx，sinx＞cosx}\end{array}\right.$給出下列四個命題：
①該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；
②當且僅當x=π+2kπ（k∈Z）時，該函數(shù)取得最小值-1；
③該函數(shù)的圖象關于x=$\frac{5π}{4}$+2kπ（k∈Z）對稱；
④當且僅當2kπ＜x＜$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）時，0＜f（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$
其中正確命題的序號是③④．（請將所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析 由題意作出此分段函數(shù)的圖象，由圖象研究該函數(shù)的性質，依據(jù)這些性質判斷四個命題的真假，此函數(shù)取自變量相同時函數(shù)值小的那一個，由此可順利作出函數(shù)圖象．

解答 解：由題意函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，sinx≤cosx}\\{cosx，sinx＞cosx}\end{array}\right.$，
畫出f（x）在x∈[0，2π]上的圖象．
由圖象知，函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，
在x=π+2kπ（k∈Z）和x=$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈Z）時，該函數(shù)都取得最小值-1，故①②錯誤，
由圖象知，函數(shù)圖象關于直線x=$\frac{5π}{4}$+2kπ（k∈Z）對稱，
在2kπ＜x＜$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z）時，0＜f（x）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故③④正確．
故答案為   ③④

點評 本題考點是三角函數(shù)的最值，本題是函數(shù)圖象的運用，由函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質，并以由圖象研究出的結論判斷和函數(shù)有關的命題的真假．