Question

15．P，A，B，C四點(diǎn)在同一球面上，∠BAC=135°，BC=2，PA⊥平面ABC且PA=2，則此球O的體積為4$\sqrt{3}$π．

Answer 1

分析 運(yùn)用正弦定理可得△ABC的外接圓的直徑2r，再由球的半徑和球心到截面的距離、及截面圓的半徑構(gòu)成直角三角形，即可求得球的半徑，再由球的體積公式計(jì)算即可得到．

解答 解：由于∠BAC=135°，BC=2，
則△ABC的外接圓的直徑2r=$\frac{2}{sin135°}$=2$\sqrt{2}$，
即有r=$\sqrt{2}$，
由于PA⊥平面ABC且PA=2，所以球心O到平面ABC的距離為1，
則由勾股定理可得，球的半徑R=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
即有此球O的體積為V=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{4}{3}$π×（$\sqrt{3}$）³=4$\sqrt{3}$π．
故答案為：4$\sqrt{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的體積的求法，主要考查球的截面的性質(zhì)：球的半徑和球心到截面的距離、及截面圓的半徑構(gòu)成直角三角形，同時(shí)考查正弦定理的運(yùn)用：求三角形的外接圓的直徑，屬于中檔題．