Question

某幸運(yùn)觀眾參加電視節(jié)目抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：在盒子里預(yù)先放有大小相同的5個(gè)小球，其中一個(gè)綠球，兩個(gè)紅球，兩個(gè)白球．該觀眾依次從盒子里摸球，每次摸一個(gè)球（不放回），若累計(jì)摸到兩個(gè)白球就停止摸球，否則直到將盒子里的球摸完才停止．規(guī)定：在球摸停止時(shí)，只有摸出紅球才獲得獎(jiǎng)金，獎(jiǎng)金數(shù)為摸出紅球個(gè)數(shù)的1000倍（單位：元）．
（Ⅰ）求該幸運(yùn)觀眾摸三次球就停止的概率；
（Ⅱ）設(shè)ξ 為該幸運(yùn)觀眾摸球停止時(shí)所得的獎(jiǎng)金數(shù)（元），求ξ 的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）利用排列組合公式，我們易計(jì)算出“該幸運(yùn)觀眾摸球三次就停止”的個(gè)數(shù)，及所有事件的總個(gè)數(shù)，代入古典概型公式，即可得到答案．
（II）由于獎(jiǎng)金數(shù)為摸出紅球個(gè)數(shù)的1000倍，故ξ的可能值為0，1000，2000，分別計(jì)算出ξ分別取0，1000，2000時(shí)的概率，即可得到ξ 的分布列，代入期望公式，即可得到數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答：解（Ⅰ）記“該幸運(yùn)觀眾摸球三次就停止”為事件A，
則P（A）=

C 1 2 • C 1 3 • A 2 2

A 3 5

=

1

5

．（5分）
（Ⅱ）ξ的可能值為0，1000，2000．（7分）
P（ξ=0）=

A 2 2

A 2 5

+

C 1 2 • A 2 2

A 3 5

=

1

6

，
P（ξ=1000）=

C 1 2 • C 1 2 •  A 2 2

A 3 5

+

C 1 2 • C 1 2 • A 3 3

A 4 5

=

1

3

，
P（ξ=2000）=

C 2 2 • C 1 2 • A 3 3

A 4 5

+

C 3 3 • C 1 2 • A 4 4

A 5 5

=

1

2

．（10分）

∴Eξ=0×

1

6

+1000×

1

3

+2000×

1

2

=

4000

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等可能事件的概率，離散型隨機(jī)變量及其分布列，散型隨機(jī)變量的期望與分差，其中在計(jì)算ξ分別取0，1000，2000時(shí)，觀察摸球的情況時(shí)，要注意不重漏，這是解答本題的易錯(cuò)點(diǎn)．