Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx（a∈R），g（x）=-

a

x

，若至少存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，則實數(shù)a的范圍為（　　）

• A、[1，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、[0，+∞）
• D、（0，+∞）

Answer 1

考點：特稱命題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用不等式有解，利用導數(shù)求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：若若至少存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
即f（x）-g（x）＞0在x∈[1，e]，時有解，
設(shè)F（x）=f（x）-g（x）=a（x-

1

x

）-2lnx+

a

x

=ax-2lnx＞0有解，x∈[1，e]，
即a＞

2lnx

x

，
則F′（x）=

2(1-lnx)

x2

，
當x∈[1，e]時，F(xiàn)′（x）=

2(1-lnx)

x2

≥0，
∴F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
即F_min（x）=F（1）=0，
因此a＞0即可．
故選：D．

點評：本題主要考查不等式有解的問題，將不等式進行轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．