Question

設(shè)

n

k=3

A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…A_n，n∈N^*，設(shè)集合A_k={y|y=

kx+1

kx

，

1

k

≤x≤1，k=2，3，…，2015}，則

2015

k=2

A_k=（　　）

• A、∅
• B、[2，

  3 2

  2

  ]
• C、{2}
• D、[2，

  2016 2015

  2015

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：并集及其運(yùn)算

專題：探究型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：根據(jù)基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求出集合A_k，再由題意表示出

2015

k=2

A_k，利用并集的運(yùn)算求出即可．

解答： 解：因為，

1

k

≤x≤1，k=2，3，…，2015，
所以

kx+1

kx

=

kx

+

1

kx

≥2

kx • 1 kx

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)

kx

=

1

kx

時，即x=

1

k

時取等號，
所以函數(shù)y=

kx+1

kx

在[

1

k

，1]上的最小值是2，
由對號函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)y=

kx+1

kx

在[

1

k

，1]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=1時取到最大值

k+1

k

=

(k+1) k

k

，即集合A_k=[2，

(k+1) k

k

]（k≥2），
因為

n

k=3

A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…A_n，n∈N^*，且A_k={2}，
所以

2015

k=2

A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…A₂₀₁₅={2}∪[2，

3 2

2

]∪…∪[2，

2016 2015

2015

]
=[2，

2016 2015

2015

]，
故選：D．

點(diǎn)評：本題是探究型的題目，考查基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性在求函數(shù)的最值中的應(yīng)用，以及并集的運(yùn)算．