Question

6．求解下列問題：
（1）已知設(shè)f（α）=$\frac{2sin（π+α）cos（π-α）-cos（π+α）}{1+si{n}^{2}α+cos（\frac{3π}{2}+α）-si{n}^{2}（\frac{π}{2}+α）}$（1+2sinα≠0），求f（-$\frac{23π}{6}$）
（2）證明：$\frac{1-2sinxcosv}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$=$\frac{1-tanx}{1+tanx}$．

Answer 1

分析 （1）首先利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f（α），然后計(jì)算；
（2）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系、倍角公式進(jìn)行證明．

解答 解：（1）f（α）=$\frac{2sin（π+α）cos（π-α）-cos（π+α）}{1+si{n}^{2}α+cos（\frac{3π}{2}+α）-si{n}^{2}（\frac{π}{2}+α）}$=$\frac{2sinαcosα+cosα}{1+si{n}^{2}α+sinα-co{s}^{2}α}$=$\frac{sin2α+cosα}{sinα（2sinα+1）}$，（1+2sinα≠0），
所以f（-$\frac{23π}{6}$）=$\frac{sin（-\frac{23π}{3}）+cos（-\frac{23π}{6}）}{sin（-\frac{23π}{6}）（1+2sin（-\frac{23π}{6}））}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}（1+\sqrt{3}）}$=$\sqrt{3}$-1；
（2）$\frac{1-2sinxcosv}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$=$\frac{（sinx-cosx）^{2}}{（cosx+sinx）（cosx-sinx）}$=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$=$\frac{1-tanx}{1+tanx}$=右邊．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的運(yùn)用化簡(jiǎn)三角函數(shù)式以及利用基本關(guān)系式證明三角函數(shù)式；注意三角函數(shù)的符號(hào)和名稱的變化．