【題目】設橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為，過與垂直的直線交軸負半軸于點，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過、、三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

（3）過的直線與（2）中橢圓交于不同的兩點、，則的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線方程；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2） ；（3）的內切圓的面積的最大值為，此時直線的方程為.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的幾何性質寫出點的坐標，，，由向量的坐標運算計算，由這個關系可解得；（2）外接圓圓心為斜邊的中點，半徑，由相切的性質得，求出，再由，求出即可；

（3）設的內切圓的半徑為，則的周長為，由此可得，設直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，由根與系數(shù)關系代入，換元令，轉化為，可知當時，有最大值，從而求出內切圓面積的最大值與相應的直線方程即可.

試題解析：（1）由題，為的中點.設，則，

，，由題，即，

∴即，∴.

（2）由題外接圓圓心為斜邊的中點，半徑，

∵由題外接圓與直線相切，∴，即，即，

∴，，，故所求的橢圓的方程為.

（3）設，，由題異號，

設的內切圓的半徑為，則的周長為，

，

因此要使內切圓的面積最大，只需最大，此時也最大，

，

由題知，直線的斜率不為零，可設直線的方程為，

由得，

由韋達定理得，，（）

，

令，則，，

當時，有最大值3，此時，，，

故的內切圓的面積的最大值為，此時直線的方程為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為是上一點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是分別關于兩坐標軸及坐標原點的對稱點，平行于的直線交于異于的兩點．點關于原點的對稱點為．證明：直線與軸圍成的三角形是等腰三角形．

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【題目】為了對某課題進行研究，用分層抽樣方法從三所高校的相關人員中，抽取若干人組成研究小組、有關數(shù)據(jù)見下表（單位：人）

（1）求；

（2）若從高校抽取的人中選2人作專題發(fā)言，求這二人都來自高校的概率.

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【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）當時，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設函數(shù)的圖象在兩點處的切線分別為，若，且，求實數(shù)的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在三棱柱中，為正方形，為菱形，，平面平面.

（1）求證：；

（2）設點、分別是，的中點，試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；

（3）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形， ， ， ， ， 、、分別是棱、、的中點.

（1）證明：直線平面；

（2）求證：面面.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某商場銷售某件商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷量（單位：千克）與銷售價格（單位：元/千克）滿足關系式，其中，為常數(shù)。已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克。

（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，太湖一個角形湖灣（ 常數(shù)為銳角）. 擬用長度為（為常數(shù)）的圍網(wǎng)圍成一個養(yǎng)殖區(qū)，有以下兩種方案可供選擇：

方案一 如圖1，圍成扇形養(yǎng)殖區(qū)，其中；

方案二 如圖2，圍成三角形養(yǎng)殖區(qū)，其中；

（1）求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積；

（2）求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積；

（3）為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大，應選擇何種方案？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）在(Ⅰ)的條件下，函數(shù) (其中為函數(shù)的導數(shù))的圖像關于直線對稱，求函數(shù)單調區(qū)間；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，若對任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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