Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）在(Ⅰ)的條件下，函數(shù) (其中為函數(shù)的導(dǎo)數(shù))的圖像關(guān)于直線對稱，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）在(Ⅱ)的條件下，若對任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；(Ⅲ) .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，得；（Ⅱ）的圖象關(guān)于直線對稱，故函數(shù)為偶函數(shù)，解得，分別令，即可得到單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）對任意的，都有恒成立可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，易知，∴在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，只需即可.

試題解析：（Ⅰ）由有

因為在處取得極值，故

∴

經(jīng)檢驗：當(dāng)時，符合題意，故.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

∵的圖像關(guān)于直線對稱，故函數(shù)為偶函數(shù)

又

∴，解得

∴

∴

令有或

令有或

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

在區(qū)間上單調(diào)遞減.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，對任意的，都有恒成立可轉(zhuǎn)化為

在上恒成立

易知∴在上恒成立

令，∴

令，∴

∴在上遞減，上遞增

∴

∴，即在上遞增

∴

∴.