Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ+cosθ）=1，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程與曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）試判斷曲線C₁與C₂是否存在兩個(gè)交點(diǎn)？若存在，求出兩交點(diǎn)間的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由條件根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式求得曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；把曲線C₂的參數(shù)方程中的參數(shù)消去，轉(zhuǎn)化為普通方程．
（Ⅱ）把曲線C₁與C₂是聯(lián)立方程組根據(jù)判別式大于零可得曲線C₁與C₂是相交于兩個(gè)點(diǎn)；求出方程組的解，可得兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得兩交點(diǎn)間的距離．

解答 解：（Ⅰ）由曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ+cosθ）=1，可得它的直角坐標(biāo)方程為x+y=1，
根據(jù)曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），可得它的普通方程為 $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（Ⅱ）把曲線C₁與C₂是聯(lián)立方程組 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化簡可得 5x²-8x=0，顯然△=64＞0，
故曲線C₁與C₂是相交于兩個(gè)點(diǎn)．
解方程組求得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，或 $\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=-\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，可得這2個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，1）、（$\frac{8}{5}$，-$\frac{3}{5}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把參數(shù)方程化為普通方程的方法，求兩條曲線的交點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．