Question

17．函數(shù)y=f（x），（x∈R）為奇函數(shù)，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，xf′（x）＜f（-x），若 a=$\sqrt{3}$•f（$\sqrt{3}$），b=（lg3）•f（lg3），c=（log₂$\frac{1}{4}$）•f（log₂$\frac{1}{4}$），則a，b，c的大小順序?yàn)椋ā　。?table class="qanwser">A．a＜b＜cB．c＞b＞aC．c＜a＜bD．c＞a＞b

Answer 1

分析 令g（x）=xf（x），根據(jù)當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，xf′（x）＜f（-x），函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，可得g′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，即函數(shù)g（x）在（-∞，0）時(shí)單調(diào)遞減，在函數(shù)g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，問(wèn)題得以解決．

解答 解：令g（x）=xf（x），
∵當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，xf′（x）＜f（-x），函數(shù)y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴可以化為xf′（x）+f（x）＜0，
∴g′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函數(shù)g（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，
∵g（-x）=-xf（-x）=xf（x）=g（x），
∴g（x）為偶函數(shù)，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（log₂$\frac{1}{4}$）=g（-2）=g（2）
∵2＞$\sqrt{3}$＞lg3，
∴c＞a＞b．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題