Question

設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且周期為4，f（1+x）=f（1-x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x．
（1）求f（3）的值；
（2）當(dāng)-4≤x≤4時(shí)，求f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得，f（3）=f（-1）=-f（1）=-1；
（2）作f（x）的圖象如圖，從而求其面積．

解答： 解：∵f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
∴f（3）=f（-1），
又∵f（x）是R上的奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1），
由當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，
∴f（3）=f（-1）=-f（1）=-1；
（2）∵f（1+x）=f（1-x），
故知函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
又當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，
且f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，
則f（x）的圖象如圖所示，

當(dāng)-4≤x≤4時(shí)，設(shè)f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積為S，
則S=4S_△OAB=4×

1

2

×2×1=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用及作圖的應(yīng)用，屬于中檔題．