Question

【題目】如圖，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長均為2，∠B1BA= ，且側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC． （Ⅰ）證明：B1C⊥AC1
（Ⅱ）若M為A1C1的中點，求二面角A﹣B1M﹣A1的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：過B1作BO⊥平面ABC， ∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長均為2，∠B1BA= ，
M，N分別為A1C1與B1C的中點，且側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC．
∴△ABC和△ABB1是邊長為2的等邊三角形，∴O是AB中點，∴B1O= ，
∴OB，OB1 ， OC兩兩垂直，
以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OB1為z軸，建立空間直角坐標系，
則O（0，0，0），B1（0，0， ），C（0， ，0），A（﹣1，0，0），C1（﹣1， ， ），
=（0， ）， =（0， ），
∴ =0+3﹣3=0，
∴B1C⊥AC1 ．
（Ⅱ）解：∵M為A1C1的中點，A1（﹣2，0， ），A（﹣1，0，0），B1（0，0， ），C1（﹣1， ， ），M（﹣ ， ， ），
∴ =（1，0， ）， =（﹣ ， ， ），
設平面AB1M的法向量 =（x，y，z），
則 ，取z=1，得 =（﹣ ，3，1），
平面B1MA1的法向量 =（0，0，1），
設二面角A﹣B1M﹣A1的平面角為θ，
則cosθ= = = ．
∴二面角A﹣B1M﹣A1的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）過B1作BO⊥平面ABC，則OB，OB1 ， OC兩兩垂直，以O為原點，OB為x軸，OC為y軸，OB1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明B1C⊥AC1 ． （Ⅱ）求出平面AB1M的法向量和平面B1MA1的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣B1M﹣A1的余弦值．
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的性質(zhì)，需要了解垂直于同一個平面的兩條直線平行才能得出正確答案．