Question

4．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cost}\\{y=4+2sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（1）若直線l的斜率為2，判斷直線l與曲線C₁位置關(guān)系；
（2）求C₁與C₂交點的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （1）利用加減消元法和平方消元法消去參數(shù)t，可把直線l與曲線C₁的參數(shù)方程化為普通方程，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，可得結(jié)論；
（2）將曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出交點的坐標(biāo)，進而可化為極坐標(biāo)．

解答 解：（1）由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=1+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）可得直線l過（-1，1）點，
當(dāng)直線l的斜率為2時，直線l的普通方程為y-1=2（x+1），即2x-y+3=0，
由曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cost}\\{y=4+2sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消參得：（x-2）²+（y-4）²=4，
則曲線C₁表示以（2，4）點為圓心，以2為半徑的圓，
此時圓心到直線的距離d=$\frac{|4-4+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$＜2，
故直線l與曲線C₁相交；
（2）曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
化為普通方程為：x²+y²-4x=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）}^{2}+{（y-4）}^{2}=4\\{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right.$，
故C₁與C₂交點的坐標(biāo)為（2，2），
故C₁與C₂交點的極坐標(biāo)（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）

點評 本題考查的知識點是參數(shù)方程與極坐標(biāo)，直線與圓的位置關(guān)系，圓的交點，難度中檔．