Question

【題目】曲線，直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，直線，與曲線分別交于點(diǎn)、和、，記直線的斜率為．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當(dāng)變化時(shí)，試問直線是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，利用與關(guān)于直線對(duì)稱可得關(guān)系，代入斜率乘積即可得到的值；

（Ⅱ）設(shè)出，的坐標(biāo)，分別聯(lián)立兩直線方程與橢圓方程，求出，的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出所在直線的斜率，寫出直線方程的點(diǎn)斜式，整理后由直線系方程可得當(dāng)變化時(shí)，可得直線過定點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：設(shè)直線上任意一點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，

直線與直線的交點(diǎn)為，

∴，，，，

由得①，

由，得②，

由①②得，

；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，

由，得，

可得或，

即，

由，可將換為，

可得，

，

即直線：，

可得 ，

即為，

則當(dāng)變化時(shí)，直線過定點(diǎn)．