Question

已知函數(shù)f（x）=

1+ln(x-1)

x-a

（a為常數(shù)），x=2是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）如果當(dāng)x≥2時(shí)，不等式f（x）≥

m

x

恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；
（Ⅲ）求證：n-2（

1

2

+

2

3

+

3

4

+…+

n

n+1

）＜ln（n+1）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由題意得：f（x）=

x-a x-1 -1-ln(x-1)

(x-a)2

，由x=2是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，得f′（2）=0，解得：a=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

1+ln(x-1)

x-1

，定義域?yàn)椋?，+∞），得問(wèn)題等價(jià)于m≤x•

1+ln(x-1)

x-1

在[2，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x•

1+ln(x-1)

x-1

，則g′（x）=

x-1-ln(x-1)

(x-1)2

，令h（x）=x-1-ln（x-1），則h′（x）=

x-2

x-1

，得h（x）≥h（2）=1＞0，從而g（x）在[2，+∞）遞增，進(jìn)而求出m的范圍．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x≥2時(shí)，f（x）≥

2

x

，即

1+ln(x-1)

x-1

≥

2

x

，令x-1=

k+1

k

，得n-2（

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

）＜ln（

2

1

×

3

2

×…×

n+1

n

），即n-2（

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

）＜ln（n+1）．

解答： 解：（Ⅰ）由題意得：f（x）=

x-a x-1 -1-ln(x-1)

(x-a)2

，
∵x=2是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
∴f′（2）=0，解得：a=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=

1+ln(x-1)

x-1

，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴問(wèn)題等價(jià)于m≤x•

1+ln(x-1)

x-1

在[2，+∞）上恒成立，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=x•

1+ln(x-1)

x-1

，則g′（x）=

x-1-ln(x-1)

(x-1)2

，
令h（x）=x-1-ln（x-1），則h′（x）=

x-2

x-1

，
∴x≥2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）在[2，+∞）遞增，
∴h（x）≥h（2）=1＞0，
∴g′x）＞0，
∴g（x）在[2，+∞）遞增，
∴g（x）_min=g（2）=2，∴m≤2，

∴實(shí)數(shù)m的最大值為2；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：x≥2時(shí)，f（x）≥

2

x

，即

1+ln(x-1)

x-1

≥

2

x

，
整理得ln（x-1）≥1-

2

x

＞1-

2

x-1

，
令x-1=

k+1

k

，則1-

2

x-1

=1-2

k

k+1

，
即ln

k+1

k

＞1-2

k

k+1

，
k=1時(shí)，1-2×

1

2

＜ln

2

1

，
k=2時(shí)，1-2×

2

3

＜ln

3

2

，
…，
k=n時(shí)，1-2

n

n+1

＜ln

n+1

n

，
將以上不等式兩端分別相加得：
n-2（

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

）＜ln（

2

1

×

3

2

×…×

n+1

n

），
即n-2（

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

）＜ln（n+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值問(wèn)題，求參數(shù)的范圍問(wèn)題，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．