Question

20．（1）證明函數(shù)f（x）=$\sqrt{x+1}$在定義域上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）用定義判斷f（x）=1+$\frac{1}{x-2}$在區(qū)間（2，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，通過(guò)作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可．

解答 證明：（1）∵x+1≥0，∴x≥-1，∴函數(shù)的定義域是[-1，+∞），
設(shè)x₁，x₂∈[-1，+∞），且x₁＜x₂，則：
f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{{x}_{1}+1}$-$\sqrt{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}+1}+\sqrt{{x}_{2}+1}}$；
∵x₁，x₂∈[-1，+∞），且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，$\sqrt{{x}_{1}+1}$+$\sqrt{{x}_{2}+1}$＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在定義域[0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）設(shè)x₁＞x₂＞2，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}-2}$-$\frac{1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{（x}_{1}-2）{（x}_{2}-2）}$，
∵x₁-x₂＞2，∴x₁-2＞0，x₂-2＞0，x₂-x₁＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明函數(shù)為增函數(shù)的方法與過(guò)程．