Question

11．如圖，已知A，B，C是直線m上的三點，且|AB|=|BC|=6，⊙O切直線m于點A，又過B，C作異于直線m的兩切線，切點分別為D，E，設兩切線交于點P．

（1）求點P的軌跡E的方程；
（2）證明：已知S是軌跡E上異于A₁，A₂（軌跡E頂點）的一點，直線A₁S，A₂S分別交直線l：x=t（t為常數(shù)）于不同兩點M，N，點Q在直線l上，若Q為線段MN的中點，則直線SQ與軌跡E有且只有一個公共點S．

Answer 1

分析 （1）設過B、C異于l的兩切線分別切⊙O于D、E兩點，兩切線交于點P．由切線的性質，結合橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓，建立坐標系，可求得動點P的軌跡方程；
（2）設S（x₀，y₀）（x₀≠±2），求出A₁S，A₂S的方程，可得M，N的坐標，進而可得Q的坐標，求出SQ的方程，代入橢圓方程，求出△=0，即可得出結論．

解答 解：（1）設過B、C異于l的兩切線分別切⊙O于D、E兩點，兩切線交于點P．
由切線的性質知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，
故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，
故由橢圓定義知，點P的軌跡是以B、C為兩焦點的橢圓
以l所在的直線為x軸，以BC的中點為原點，建立坐標系，可求得動點P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{72}$=1（y≠0）；
（2）證明：設S（x₀，y₀）（x₀≠±9），
l_A1S：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+9}$（x+9）；l_A2S：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-9}$（x-9），
∴M（t，$\frac{{y}_{0}（t+9）}{{x}_{0}+9}$），N（t，$\frac{{y}_{0}（t-9）}{{x}_{0}-9}$），
設MN的中點為Q（t，y₁），則x₁=t，y₁=$\frac{{y}_{0}（{x}_{0}t-9）}{{{x}_{0}}^{2}-81}$=-$\frac{-8（{x}_{0}t-9）}{9{y}_{0}}$
∴Q（t，-$\frac{-8（{x}_{0}t-9）}{9{y}_{0}}$），
∴k_SQ=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{t-{x}_{0}}$=-$\frac{8{x}_{0}}{9{y}_{0}}$，
∴SQ的方程為y=-$\frac{8{x}_{0}}{9{y}_{0}}$（x-x₀）+y₀，即y=-$\frac{8{x}_{0}}{9{y}_{0}}$x+$\frac{8}{{y}_{0}}$
代入橢圓方程，消去y可得$\frac{8}{9{{y}_{0}}^{2}}$x²-$\frac{8{x}_{0}}{3{{y}_{0}}^{2}}$x+$\frac{8}{{{y}_{0}}^{2}}$-1=0，
∴△=（-$\frac{8{x}_{0}}{3{{y}_{0}}^{2}}$）²-4•$\frac{8}{9{{y}_{0}}^{2}}$•（$\frac{8}{{{y}_{0}}^{2}}$-1）=0，
∴直線SQ與橢圓E有且只有一個公共點S．

點評 本題考查軌跡方程，考查橢圓的定義，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．