Question

12．如圖，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個焦點為F（1，0），且過點（2，0）．
（1）若AB為垂直于x軸的動弦，直線l：x=4與x軸交于點N，直線AF與BN交于點M，求證：點M恒在橢圓C上；
（2）設動直線l′：y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q，試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點H，使得以PQ為直徑的圓恒過點H？若存在，求出點H的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的一個焦點為F（1，0），且過點（2，0）．可得c=1，a=2．b²=a²-c²．即可得出橢圓C的方程．設A（s，t），B（s，-t），（s≠1）．聯(lián)立直線AF的方程與直線BN的方程可得M，代入橢圓方程是否滿足即可．
（2）假設存在定點H，使得以PQ為直徑的圓恒過點H．根據(jù)橢圓的對稱性，點H必定在x軸上，取k=0時，可得P（0，±$\sqrt{3}$），Q（4，$±\sqrt{3}$），設H（x₀，0），利用$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{QH}$=0，可得H（1，0）或（3，0）．把直線l′的方程與橢圓方程聯(lián)立化為（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，利用△=0，化為m²=3+4k²．可得P$（-\frac{4k}{m}，\frac{3}{m}）$，Q（4，4k+m）．只有證明$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{QH}$=0即可．

解答 （1）證明：由橢圓的一個焦點為F（1，0），且過點（2，0）．
∴c=1，a=2．∴b²=a²-c²=3．
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
設A（s，t），B（s，-t），（s≠1）．
則直線AF的方程為：$y=\frac{t}{s-1}（x-1）$，
直線BN的方程為：$y=\frac{-t}{s-4}（x-4）$，
解得x=$\frac{5s-8}{2s-5}$，y=$\frac{3t}{2s-5}$，
∵$\frac{{s}^{2}}{4}+\frac{{t}^{2}}{3}=1$，∴t²=$3（1-\frac{{s}^{2}}{4}）$，
∴$\frac{（5s-8）^{2}}{4（2s-5）^{2}}$+$\frac{3{t}^{2}}{（2s-5）^{2}}$=$\frac{（5s-8）^{2}+12{t}^{2}}{4（2s-5）^{2}}$=$\frac{（5s-8）^{2}+36（1-\frac{{s}^{2}}{4}）}{4（2s-5）^{2}}$=$\frac{4（2s-5）^{2}}{4（2s-5）^{2}}$=1，
因此直線AF與BN交于點M恒在橢圓C上．
（2）解：假設存在定點H，使得以PQ為直徑的圓恒過點H．
根據(jù)橢圓的對稱性，點H必定在x軸上，
取k=0時，可得P（0，±$\sqrt{3}$），Q（4，$±\sqrt{3}$），設H（x₀，0），
則$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{QH}$=0，可得${x}_{0}^{2}-4{x}_{0}+3$=0，解得x₀=1或3．
∴H（1，0）或（3，0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∵動直線l′：y=kx+m與橢圓C有且只有一個公共點P，
∴動直線l′與橢圓C一定相切，
∴△=0，化為m²=3+4k²．
解得P$（-\frac{4k}{m}，\frac{3}{m}）$，
Q（4，4k+m）．
取H（1，0），則$\overrightarrow{PH}$=$（1+\frac{4k}{m}，-\frac{3}{m}）$，$\overrightarrow{QH}$=（-3，-4k-m）
則$\overrightarrow{PH}•\overrightarrow{QH}$=$-3（1+\frac{4k}{m}）$+$（4k+m）×\frac{3}{m}$=0，因此滿足PH⊥QH．
同理取H（3，0），也滿足PH⊥QH．
綜上可得：存在定點H（1，0）或（3，0），使得以PQ為直徑的圓恒過點H．

點評 本題考查了直線與橢圓相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得△=0、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、直線的交點、圓的性質(zhì)，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．