Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C的方程為$\frac{x^2}{8}+{y^2}$=1，設(shè)AB是過橢圓C中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上與O不 重合的點．
（1）求以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程；
（2）若MO=2OA，當(dāng)點A在橢圓C上運動時，求點M的軌跡方程；
（3）記M是l與橢圓C的交點，若直線AB的方程為y=kx（k＞0），當(dāng)△AMB的面積為$\frac{{4\sqrt{14}}}{7}$時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）通過橢圓一個焦點和頂點求出雙曲線a²，b²，然后求出方程．
（2）設(shè)M（x，y），A（m，n），利用MO=2OA，得到MA的方程，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4（{m^2}+{n^2}）\;\\ mx+ny=0\;\end{array}\right.$，結(jié)合點A（m，n）在橢圓C上，可求點M的軌跡方程．
（3）AB所在直線方程為y=kx（k＞0）．與橢圓聯(lián)立方程組，求出A坐標(biāo)，M坐標(biāo)，利用三角形的面積求出k，可得直線方程．

解答 解：（1）橢圓一個焦點和頂點分別為$（\sqrt{7}，0），（2\sqrt{2}，0）$，…（1分）
所以在雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$中，a²=7，c²=8，b²=c²-a²=1，
因而雙曲線方程為$\frac{x^2}{7}-{y^2}=1$．…（4分）
（2）設(shè)M（x，y），A（m，n），則由題設(shè)知：$|{\overrightarrow{OM}}|=2|{\overrightarrow{OA}}|$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}=0$．
即$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4（{m^2}+{n^2}）\;\\ mx+ny=0\;\end{array}\right.$…（5分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{m^2}=\frac{1}{4}{y^2}\;\\{n^2}=\frac{1}{4}{x^2}\end{array}\right.$…（7分）
因為點A（m，n）在橢圓C上，所以$\frac{m^2}{8}+{n^2}=1$，即…$\frac{{{{（{\frac{y}{2}}）}^2}}}{8}+{（{\frac{x}{2}}）^2}=1$，
亦即$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{32}=1$．所以點M的軌跡方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{32}=1$．…（9分）
（3）因為AB所在直線方程為y=kx（k＞0）．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+{y^2}=1\;\\ y=kx\;\end{array}\right.$得${x_A}^2=\frac{8}{{1+8{k^2}}}$，${y_A}^2=\frac{{8{k^2}}}{{1+8{k^2}}}$，
所以$O{A^2}={x_A}^2+{y_A}^2=\frac{8}{{1+8{k^2}}}+\frac{{8{k^2}}}{{1+8{k^2}}}=\frac{{8（1+{k^2}）}}{{1+8{k^2}}}$，$A{B^2}=4O{A^2}=\frac{{32（1+{k^2}）}}{{1+8{k^2}}}$．
又$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{8}+{y^2}=1\\ y=-\frac{1}{k}x\end{array}\right.$解得${x_M}^2=\frac{{8{k^2}}}{{{k^2}+8}}$，${y_M}^2=\frac{8}{{{k^2}+8}}$，所以$O{M^2}=\frac{{8（1+{k^2}）}}{{{k^2}+8}}$．…（11分）
由于${S_{△AMB}}^2=\frac{1}{4}A{B^2}•O{M^2}$=$\frac{1}{4}×\frac{{32（1+{k^2}）}}{{1+8{k^2}}}×\frac{{8（1+{k^2}）}}{{{k^2}+8}}$=$\frac{{64{{（1+{k^2}）}^2}}}{{（1+8{k^2}）（{k^2}+8）}}=\frac{32}{7}$…（14分）
解得$（6{k^2}-1）（{k^2}-6）=0⇒{k^2}=\frac{1}{6}或{k^2}=6$即$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{6}或k=±\sqrt{6}$
又k＞0，所以直線AB方程為$y=\frac{{\sqrt{6}}}{6}x$或$y=\sqrt{6}x$…（16分）

點評 本題考查直線與圓錐曲線方程的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．