Question

已知函數(shù)，．

（1）若a=1，判斷函數(shù)是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個(gè)，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)椋?，+¥）.

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/10/29/14/2014102914561632750329.files/image164.gif'>，                           

所以在（0，+¥）上單調(diào)遞增，                             

所以函數(shù)不存在極值.                                        

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/10/29/14/2014102914561632750329.files/image165.gif'>．

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/10/29/14/2014102914561632750329.files/image168.gif'>在（0，+¥）上恒成立，所以在（0，+¥）上單調(diào)遞減.  

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，方程與方程有相同的實(shí)根.    

①當(dāng)時(shí)，D>0，可得，，且

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/10/29/14/2014102914561632750329.files/image178.gif'>時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；        

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/10/29/14/2014102914561632750329.files/image181.gif'>時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；      

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/10/29/14/2014102914561632750329.files/image183.gif'>時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；    

②當(dāng)時(shí)，，所以在（0，+¥）上恒成立，故在（0，+¥）上單調(diào)遞增.                                                               

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為（0，+¥）；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為與；單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為（0，+¥）.                                      

（3）由存在一個(gè)，使得成立，

得，即.                                  

令，等價(jià)于“當(dāng) 時(shí)，”.            

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/10/29/14/2014102914561632750329.files/image195.gif'>，且當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，                                       

故，因此.