Question

18．在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，且滿足a_n+1=2a_n$-\frac{1}{{a}_{n}+1}$（n∈N*）
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）證明．a(chǎn)_n≥$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用遞推公式能依次求出a₂，a₃．
（Ⅱ）利用數(shù)數(shù)歸納法證明：先驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{1}=1≥（\frac{3}{2}）^{1-1}=1$，成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，${a}_{k}≥（\frac{3}{2}）^{k-1}$，由f（x）=2x-$\frac{1}{x+1}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，推導(dǎo)出${a}_{k+1}≥（\frac{3}{2}）^{k}$，由此能證明a_n≥$（\frac{3}{2}）^{n-1}$．

解答 解：（Ⅰ）∵在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且滿足a_n+1=2a_n$-\frac{1}{{a}_{n}+1}$（n∈N*），
∴${a}_{2}=2×1-\frac{1}{1+1}$=$\frac{3}{2}$，
${a}_{3}=2×\frac{3}{2}-\frac{1}{\frac{3}{2}+1}$=$\frac{13}{5}$．
證明：（Ⅱ）①當(dāng)n=1時(shí)，由已知${a}_{1}=1≥（\frac{3}{2}）^{1-1}=1$，成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即${a}_{k}≥（\frac{3}{2}）^{k-1}$，
∵f（x）=2x-$\frac{1}{x+1}$在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴${a}_{k+1}=2{a}_{k}-\frac{1}{{a}_{k}+1}$≥$2（\frac{3}{2}）^{k-1}-\frac{1}{（\frac{3}{2}）^{k-1}+1}$
=（$\frac{3}{2}$）^k+$\frac{1}{3}$（$\frac{3}{2}$）^k-$\frac{1}{（\frac{3}{2}）^{k-1}+1}$
=（$\frac{3}{2}$）^k+$\frac{\frac{1}{3}（\frac{3}{2}）^{2k-1}+\frac{1}{3}（\frac{3}{2}）^{k}-1}{（\frac{3}{2}）^{k-1}+1}$
=（$\frac{3}{2}$）^k+$\frac{\frac{1}{9}[（\frac{3}{2}）^{k}+3][2×（\frac{3}{2}）^{k}-3]}{（\frac{3}{2}）^{k-1}+1}$，
∵k≥1，∴2×（$\frac{3}{2}$）^k-3$≥2×\frac{3}{2}$-3=0，
∴${a}_{k+1}≥（\frac{3}{2}）^{k}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
根據(jù)①②知不等式對任何n∈N^*都成立．

點(diǎn)評 本查題考查數(shù)列的第2項(xiàng)和第3項(xiàng)的求法，考查數(shù)列不等式的證明，考查數(shù)列遞推式、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．