Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x-x²．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]上的最大值．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式；
（2）由于是二次函數(shù)求某閉區(qū)間的最值要討論二次函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，在f（-x）=-f（x）中，令x=0，解得f（0）=0；
又當x＞0時，f（x）=x-x²，
所以當x＜0時，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-（-x-x²）=x+x²．函數(shù)f（x）的解析式是f(x)=

x-x2， x＞0   0， x=0   x+x2， x＜0

．
即f(x)=

x-x2， x≥0 x+x2， x＜0

（2）畫出函數(shù)f(x)=

x-x2， x≥0 x+x2， x＜0

的圖象，
兩個分段函數(shù)的對稱軸分別是x=-

1

2

，x=

1

2

，又區(qū)間[a，a+1]長度為1，
所以當a＜-1時，a+1＜0，f（x）=x+x²．函數(shù)f（x）的最大值為f（a）=a+a²，
當-1≤a＜-

1

2

時，-

1

2

≤a+1＜

1

2

，函數(shù)f（x）的最大值為f（a+1）=（a+1）-（a+1）²=-a-a²，
當-

1

2

≤a≤

1

2

，

1

2

≤a+1≤

3

2

，函數(shù)f（x）的最大值為f(

1

2

)=

1

4

，
當a≥

1

2

時，a+1≥

3

2

，f（x）=x-x²．函數(shù)f（x）的最大值為f（a）=a-a²，
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，a+1]上的最大值g(a)=

a+a2，當a＜-1 -a-a2，當-1≤a＜- 1 2 1 4 ，當- 1 2 ≤a≤ 1 2 a-a2，當a＞ 1 2

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，要討論對稱軸是否在此區(qū)間上，在增區(qū)間還是減區(qū)間上，屬于中檔題．