Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（x-1）|x-a|．
（1）若a=-1，解方程f（x）=1；
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＜1且不等式f（x）≥2x-3對一切實數(shù)x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）取a=-1把函數(shù)分段，然后分段求解方程f（x）=1；
（2）分x≥a和x＜a對函數(shù)分段，然后由f（x）在R上單調(diào)遞增得到不等式組

a+1 4 ≤a a+1＞0

，求解不等式組得到實數(shù)a的取值范圍；
（3）寫出分段函數(shù)g（x），不等式f（x）≥2x-3對一切實數(shù)x∈R恒成立，等價于不等式g（x）≥0對一切實數(shù)x∈R恒成立，然后求出函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的最小值，求解不等式得答案．

解答： 解：（1）當a=-1時，f（x）=x²+（x-1）|x+1|，
故有f(x)=

2x2-1， x≥-1 1， x＜-1

，
當x≥-1時，由f（x）=1，有2x²-1=1，解得x=1或x=-1．
當x＜-1時，f（x）=1恒成立．
∴方程的解集為{x|x≤-1或x=1}；
（2）f(x)=

2x2-(a+1)x+a，  x≥a (a+1)x-a，x＜a

，
若f（x）在R上單調(diào)遞增，則有

a+1 4 ≤a a+1＞0

，解得a≥

1

3

．
∴當a≥

1

3

時，f（x）在R上單調(diào)遞增；
（3）設(shè)g（x）=f（x）-（2x-3），
則g(x)=

2x2-(a+3)x+a+3，x≥a (a-1)x-a+3，  x＜a

，
不等式f（x）≥2x-3對一切實數(shù)x∈R恒成立，等價于不等式g（x）≥0對一切實數(shù)x∈R恒成立．
∵a＜1，
∴當x∈（-∞，a）時，g（x）單調(diào)遞減，其值域為（a²-2a+3，+∞），
由于a²-2a+3=（a-1）²+2≥2，
∴g（x）≥0成立．
當x∈[a，+∞）時，由a＜1，知a＜

a+3

4

，g（x）在x=

a+3

4

處取得最小值，
令g(

a+3

4

)=a+3-

(a+3)2

8

≥0，解得-3≤a≤5，
又a＜1，
∴-3≤a＜1．
綜上，a∈[-3，1）．

點評：不同考查了函數(shù)恒成立問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了不等式的解法，是壓軸題．