Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²（a，b∈R，a＞b且a≠0）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（Ⅰ）試確定a，b的符號(hào)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[b，a]上有最大值為a-b²，試求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，即可得到a，b的關(guān)系式，從而確定a，b的符號(hào)；
（Ⅱ）令f′（x）＞0得增區(qū)間，令f′（x）＜0得減區(qū)間，進(jìn)而得到極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，對(duì)a討論，①當(dāng)0＜a≤3時(shí)，②當(dāng)a＞3時(shí)，求得最大值，解方程即可得到所求a的值．

解答： 解：（I）f'（x）=3ax²+2bx，
由f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線與x軸平行，得f'（2）=0，∴b=-3a，
又a＞b，∴a＞0，b＜0．
（II）令f'（x）=3ax²-6ax=0，得x=0，或x=2，
易證x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，x=2是極小值點(diǎn)．
令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3，
（1）當(dāng)0＜a≤3時(shí)，f（x）_max=f（0）=0，∴a-b²=0，
由

a-b2=0 b=-3a

，解得a=

1

9

，符合條件0＜a≤3；
（2）當(dāng)a＞3時(shí)，f(x)max=f(a)=a4+a2b，
∴a⁴+a²b=a-b²，把b=-3a代入并化簡，得a³-3a²+9a-1=0，
設(shè)g（a）=a³-3a²+9a-1（a＞3），
∵g'（a）=3a²-6a+9=3（a-1）²+6＞0，
∴g（a）在a∈（3，+∞）上是增函數(shù)，∴當(dāng)a＞3時(shí)，g（a）＞g（3）=26＞0，
∴g（a）=0在（3，+∞）上無實(shí)數(shù)根，
綜上所述，a=

1

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查分類討論的思想方法，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．